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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression suivante :

\[(5x + 2)^2 - 2\left(6x^2 + 10x + 7\right) - (3x + 1)(3x - 1).\] 
\item Simplifier la fraction

\[\dfrac{(5x + 2)^2 - 2\left(6x^2 + 10x + 7\right) - (3x + 1)(3x - 1)}{2x - 3}.\]

\item Désigner par $y$ le résultat simplifié obtenu à la
question 2.

Représenter graphiquement la fonction $y$.
\item Le point A$\left(\sqrt 2~;~2\sqrt 3 + 3\right)$ se trouve-t-il sur la courbe représentative de la fonction $y$ ?

Trouver l'équation de la droite passant par le point A et le point B(0~;~3).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$, [OC] le rayon perpendiculaire à [AB], M le milieu de l'arc $\wideparen{\text{AC}}$ et [MN] la corde parallèle à [AB] ; (MN) et (MB) coupent le rayon [OC] respectivement en H et P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que N est le milieu de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$.
\item Montrer que le triangle MPC est isocèle et que les trois points A, P, C appartiennent à un cercle de centre M.
\item Comparer les triangles MPC et OMC et en déduire que CM est moyenne proportionnelle entre CP et CO.
\item Quelle est la nature du triangle OMH ?

Calculer MH, OH et CH en fonction de $R$, puis, à un millième près, la tangente trigonométrique de l'angle $\widehat{\text{CMH}}$.
\end{enumerate}
\end{document}