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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de deux facteurs du premier degré l'expression 
\[x^2 - 9 -  (3x + 4)(x - 3).\]
\item Résoudre l'équation
\[x^2 - 9 - (3x + 4)(x - 3) = 0.\]

\item Simplifier la fraction rationnelle
\[\dfrac{x^2 - 9 - (3x + 4)(x - 3)}{x^2 - 6x + 9}.\]

Déterminer $x$ pour que cette fraction soit égale à l'unité.
\item Représenter graphiquement les fonctions suivantes :
\begin{center}$y = - 2x - 1$ \qquad et\qquad  $y = x - 3$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point commun aux deux graphes. Comparer, en le justifiant, ce résultat au dernier résultat du 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 5a$.

On prend un point C sur la circonférence, tel que la corde [AC] ait pour longueur AC $= 3a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC en fonction de $a$.
\item Soit M, situé entre A et B, tel que $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} =  \dfrac34$.

Calculer MA et MB en fonction de $a$.
\item On porte, sur le prolongement de [BC] au-delà de C, une longueur CD = CA.

Comparer les rapports $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$ et $\dfrac{\text{DC}}{\text{CB}}$.

En déduire que (DA) et (MC) sont parallèles et que (CM) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\item (CM) coupe la circonférence en E.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles MEB et CEB sont semblables.
		
En déduire que EB est moyenne proportionnelle entre EM et EC.
		\item Montrer que (EB) est tangente au cercle circonscrit au triangle BMC.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}