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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1967 \decofourright}}

\vspace{1cm}

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A ; les côtés de l'angle droit mesurent AB $= 6$~cm, AC $= 8$~cm.

Par un point D de [AC] tel que CD $= x$, on mène la parallèle à (AB), qui rencontre (BC) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les mesures  BC, AD, DE, CE et EB.

On désigne par $y$ le périmètre du trapèze ADEB et par $y'$ celui du triangle CDE.

Démontrer que 
\begin{center}$y = - 3x + 24$\quad  et \quad $y'= 3x.$\end{center}
\item Représenter graphiquement, dans un même système d'axes rectangulaires, les variations de ces périmètres lorsque le point D se déplace entre C et A.
\item Déterminer par le calcul et graphiquement pour quelle valeur de $x$ ces deux périmètres sont égaux.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le rapport $\dfrac{y'}{y}$ est égal à $\dfrac65$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle isocèle ABC (AB = AC) inscrit dan un cercle de centre O et de rayon $R$.

On marque un point D sur l'arc $\wideparen{\text{BC}}$ ne contenant pas A (plus près de C que de B) ; (AD) coupe (BC) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AEC et ADC sont semblables ; en déduire la relation 
\begin{center}AC$^2 =$ AE  $\times$  AD.\end{center}
\item Montrer que le cercle circonscrit au triangle EDC est tangent en C à (AC).
\item La perpendiculaire à (AD) issue de C coupe (AD) en H et (BD) en I.

Montrer que le triangle IAC est isocèle.
\item On suppose maintenant que le triangle ABC est
isocèle et rectangle $\left(\widehat{\text{BAC}} = 1~\text{droit}\right)$ et que l'angle $\widehat{\text{CAD}}$ mesure $30\degres$.

Évaluer, en fonction de $R$ (rayon du cercle circonscrit au triangle ABC), la longueur des segments [AC], [AH], [HD] et [DI].
\end{enumerate}
\end{document}