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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Grenoble }}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un carré ABCD; la mesure des côtés en centimètres est $6$.

Le point M est sur le segment [AB] et la mesure de [MB] en centimètres est désignée par $x$.

Le point N est sur le segment [DC] et tel que DN $= 2$MB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres entre lesquels $x$ peut varier.
\item Exprimer en fonction de $x$ la mesure en centimètres carrés de l'aire, $y_1$ du polygone MBCN, puis celle du polygone AMND, que l'on appellera $y_2$.
\item Étudier les variations de $y_1$ et de $y_2$ quand $x$ décrit l'intervalle trouvé dans la question 1.
\item Peut-on trouver $x$ dans les trois cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $y_1 = y_2$ ;
		\item $5y_1 = y_2$ ;
		\item le polygone MBCN est un rectangle ?
	\end{enumerate}	
\item Que peut-on dire du point commun aux deux représentations graphiques?

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} - Les représentations graphiques se feront relativement à un même système d'axes perpendiculaires.

On prendra comme unité de longueur 2~cm sur O$x$ et  $\dfrac13$~cm sur O$y$.

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un cercle (O), de centre O, de diamètre [CD] tel que CD $= 2R$.

Soit [AB] une corde de ce cercle parallèle à [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ACD ?

Établir que, dans le triangle ABC, \: $\widehat{\text{A}} - \widehat{\text{B}} = 90\degres$.
\item Établir que $\text{BC}2 + \text{AC}^2 = 4R^2$.
\item Soit [AH] la hauteur issue de A pour le triangle ABC.

Établir que les triangles BAH et DCA sont semblables.

En déduire que $\text{AH} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2R}$.

\item Dans cette dernière question, on suppose, de plus,

que $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$.

Calculer les longueurs AC, AB, BC et AH en fonction
de $R$.

Donner la mesure approchée de BC, à 1 mm près par défaut, lorsque $R = 7$~dm.

Justifier l'approximation.
\end{enumerate}
\end{document}