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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne le système des deux équations suivantes : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y + 3 &=& 0,\\
3x + 2y + 4&=& 0.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre ce système.
\item Construire les droites ($\Delta$) et ($\Delta'$) d'équations respectives
\begin{center}$x- y + 3 = 0$\quad et \quad $3x + 2y + 4 = 0$\end{center}

dans un repère orthonormé $x\text{O}y$ (unité : 1 cm). Retrouver graphiquement les résultats de la question 1.
\item ($\Delta$) et ($\Delta'$) se coupent en A ; elles coupent $y'y$ respectivement en B et en C.

Quelles sont les coordonnées du milieu, I, de [BC] ?

Calculer les coordonnées du symétrique de A par
rapport à I.

Déterminer les équations des droites menées par B
et par C respectivement parallèles à AC et à AB.

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection D.

Expliquer le résultat obtenu.
\item Calculer l'aire du quadrilatère ABDC, puis celle du triangle AOC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle ABC rectangle en A de côté AB = 8 cm et AC = 6 cm. Soit [AH] la hauteur issue de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC et AH.
\item Le cercle de centre H, de rayon HA coupe AB en M et le prolongement de AC en N.
Prouver que MHN sont alignés. Montrer que le triangle AMN est semblable au triangle ABC. Calculer les côtés du triangle AMN.
\item La perpendiculaire menée de A à MN coupe BC en O. Montrer que AOB est isocèle. Où le point 0 est-il placé sur BC ?
\item Montrer que les points B, M, C et N sont sur un même cercle.

Construire géométriquement son centre I.

Caractériser le quadrilatère AHIO.
\end{enumerate}
\end{document}