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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3- 2x)(5 - x)\:\text{et}\\
B(x)&=&(3 - 2x)(x + 2)
\end{array}\]
sous la forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Montrer alors que l'expression

\[E(x) = \dfrac{(2x + 1)(5 - x)}{2x^2 - 13x + 15}
- \dfrac{(3x - 5)(x + 2)}{- 2x^2 - x + 6} + \dfrac{(x - 6)(6 - 4x)}{(3- 2x)^2}\]

peut, sous certaines conditions, que l'on précisera, se mettre sous la forme 
\[E'(x) = \dfrac{x - 6}{3 - 2x}.\]

\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $E'(x) = 1$ ?
\item Calculer une valeur numérique approchée à $\dfrac{1}{\np{1000}}$
 près de $E'(x)$ pour $x = \dfrac{\sqrt 3}{2}$.
\item Construire, dans le même repère orthonormé, les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives
\begin{center}$y_1 = x - 6$ \quad et \quad $y_2 = 3 - 2x$.\end{center}

Peut-on retrouver alors les résultats de la question 3. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un rectangle (ABCD) tel que
\begin{center}AB = DC $= 5a$ \quad et \quad AD = BC $= 2a$,\end{center}

$a$ étant une longueur donnée.

Soit le point H de (AB), situé entre A et B et tel que AH $= a$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles (DAH) et (HBC).
\item Montrer que le triangle (DHC) est rectangle.
\item M est le milieu de [DC] ; la perpendiculaire en M à (DC) coupe (HC) en N.

Montrer que le quadrilatère (DHNM) est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre O.
\item Calculer la puissance de C par rapport à ce cercle.

En déduire, en fonction de $a$, les longueurs CN, MN, ainsi que le rayon du cercle.
\end{enumerate}
\end{document}