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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit les trois fonctions polynômes $f$, $g$ et $h$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 3x^2 - 12,\\
g(x) &=& 2x^2 - 8x + 8,\\
h(x) &=& \left(x^2 - 2x\right) + \left(x\sqrt 3 - 2\sqrt 3\right).
\end{array}\]
\smallskip

\item Écrire chacun des polynômes $f(x),\: g(x)$ et $h(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré et faire apparaître un facteur commun dans $f(x),\: g(x)$ et $h(x)$
\item Écrire le polynôme $P(x) = f(x) + g(x) + h(x)$
sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Résoudre. dans $\R$ (ensemble des nombres réels) l'équation $P(x) = 0$.
\item Soit la fonction rationnelle, $F$, définie par
\[F(x) = \dfrac{(x - 2)\left(6x + 2 + \sqrt 3\right)}{(x - 1) (x - 2)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition ?
		\item Simplifier $F(4)$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 3\right)$.

Donner le résultat sous forme d'un quotient ayant un dénominateur entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

On considère les points A, B et C, définis par leurs coordonnées
\begin{center}A(0~;~2),\quad  B$(- 1~;~0)$\quad  et \quad C$(x~;~0)$\end{center}
où $x$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance de A à B (on la notera AB), puis calculer, en fonction de $x$, les distances BC et AC. 
		\item Déterminer $x$ pour que le triangle (ABC) soit
rectangle en A.
	\end{enumerate}
\item On donne à $x$ la valeur 1.
	\begin{enumerate}
		\item Soit I le milieu de (B, C).
		
Quelles sont les coordonnées de I ?
		\item Déterminer les coordonnées du point D tel que (A, C, D, B) soit un parallélogramme.
		\item Évaluer la distance AD.
	\end{enumerate}
\item On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre 1passant par A. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est Ic point diamétralement opposé à A sur ce 
cercle ?
		\item Calculer !I pour que le point M de coordonnées
$\left(-\dfrac12~;~ y\right)$ appartienne au cercle $(\mathcal{C})$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}