\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Grenoble juin 1974},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1974}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Des objets ont pour prix unitaire $80$ centimes. 

Le prix total exprimé en francs, de $n$ de ces objets, que l'on désigne par $p(n)$, est établi de la façon suivante : 

on calcule le produit $n \times 0,8$ ; le nombre décimal obtenu
peut être envisagé comme somme d'un naturel, sa partie entière, et d'un décimal inférieur à 1, éventuellement nul, sa partie décimale ; on décide que, dans le
cas où cette partie décimale est inférieure à $\dfrac12$, \:  $p(n)$ est 
la partie entière de $n \times 0,8$ et que, dans les autres cas, $p(n)$ est cette partie entière augmentée de 1. (On dit que l'on a \og  arrondi \fg{} le nombre $n \times 0,8$.) 

Ainsi on est en présence d'une application $p$, de $\N$ dans $\N$, qui à tout naturel $n$ associe $p(n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer, dans un tableau, les images par $p$ de
naturels n tels que $1 \leqslant n \leqslant 15$ et donner, un repère étant choisi dans le plan, la représentation graphique de l'application $p$, en se limitant à ces valeurs de $n$.
\item Dans ce même repère, dessiner la demi-droite représentative de l'application $q$ qui, à tout réel positif $x$, associe le nombre $x \times 0,8$.

Quels sont les points de la représentation graphique de $p$ qui appartiennent à cette demi-droite ?
\item Le prix \emph{total} de treize objets est-il la somme du prix \emph{total} de six objets et du prix \emph{total} de sept ?

$a$ et $b$ étant deux naturels, l'égalité $p(a + b) = p(a) + p(b)$ est-elle vraie quels que soient $a$ et $b$ ?

Ma dépense est-elle la même si j'achète vingt-quatre objets en quatre achats de six ou en un seul achat ?

Qu'en conclure pour les nombres $a \times p(b)$ et $p(ab)$ ?

Les nombres $a \times p(b)$ et $b \times p(a)$ sont-ils égaux quels que soient $a$ et $b$ ? 

On se contentera pour répondre à cette question de rédiger une phrase portant sur le cas où $a$ est 4 et $b$ est 6 ; cette phrase commencera par

-- \og ma dépense est la même si... \fg{} ou par

-- \og ma dépense n'est pas la même si... \fg
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le plan euclidien étant muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A de coordonnées (1~;~3), B de coordonnées $(4~;~- 1)$ et C de coordonnées $(- 3~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées (ou les composantes)
des vecteurs $\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{CA}}$.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
\item Calculer les coordonnées du milieu, K du bipoint (C, B).
\item Calculer les coordonnées du point D défini par
\[\vect{\text{AD}} = 2 \vect{\text{AK}}.\]

Les points A, B, C et D sont-ils sommets d'un parallélogramme ; d'un carré?
\item Le cercle passant par les points A, B et C passe- t-il par D ?

Calculer le rayon de ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}