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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire le polynôme:
\[\left(x + \sqrt 2\right)\left(x - \sqrt 2\right) + (x + 1)^2 - 2(x - 2)^2 + 2x + 6.\]

\item Soit $f$ l'application affine de $\R$ dans $\R$ : $x \longmapsto 12x - 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $1,732 <\sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement de
$f\left(- \sqrt 3\right)$.

Connaît-on ainsi les deux premières décimales de l'écriture avec partie déci- male illimitée du réel $f\left(- \sqrt 3\right)$ ? 
		\item $f(x)$ désignant l'image de $x$ par l'application $f$, résoudre dans $\R$ l'équation : 
		\[f(x) = 81.\]
		\item On voudrait que $f(x)$ soit strictement comprise entre $80,7$ et $81,3$ ; à quel intervalle doit appartenir $x$ pour qu'il en soit ainsi ?
		\item Quelle est la bijection réciproque de la bijection $f$ ? 
	\end{enumerate}
\item Factoriser le polynôme : $16x^2 - 1 - (4x - 1)(x - 4)$.
\item $\mathcal{E}$ désignant l'ensemble des nombres réels différents de $- \dfrac53$ et de $\dfrac14$ soit $g$ l'application:
\[\begin{array}{l  c l}
\mathcal{E}&\to &\R\\
x &\longmapsto &\dfrac{12x - 3}{(4x - 1)(3x + 5)}
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi $g$ est-elle une application ?
		\item Écrire plus simplement $g(x)$. (Rappelons que $g(x)$ désigne l'image de $x$ par l'application $g$).

On voudrait que $g(x)$ soit strictement positive ; à quel sous-ensemble de $\R$ doit appartenir $x$ pour qu'il en soit ainsi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij{}
on considère les points A, B, C et D telsque :
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - 3\vect{\imath} + 4\vect{\imath}$ ; \qquad $\vect{\text{OB}} = - \vect{\imath} + \vect{\imath}$ ; \qquad$3\vect{\text{BC}} = 2\vect{\text{AC}}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure (unité : le centimètre).
\item Montrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme et déterminer les coordonnées de son centre M.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(B, C), $d$(C, A) et montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en A.
		\item Calculer à un degré près l'écart angulaire $\alpha$ de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit E la projection orthogonale du point D sur la droite (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (A, C, D, E) est un rectangle et que A est le milieu du segment [BE].
		\item Soit H le point d'intersection des diagonales du rectangle (A, C, D, E).

Quelle est la distance de H à M ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&Cosinus&Sinus 	&Tangente\\ \hline
55		&0,574 	&0,819	&1,428\\ 
56		&0,559 	&0,829	&1,483\\ 
57		&0,545 	&0,839	&1,540\\ 
58		&0,530 	&0,848	&1,600\\ 
59		&0,515 	&0,857	&1,664\\ 
60		&0,500 	&0,866	&1,732\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}