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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $A = \dfrac{(3+5)^2  +(5 - 9)^3}{17^2 -  16^2}.$ 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$a$ désignant un nombre réel différent de $- \dfrac{\sqrt 3}{2}$, calculer

\[B = \dfrac{\left(a + \sqrt 3\right)^2 - a^2}
{2a + \sqrt 3}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Déterminer l'intervalle de $\R$ constitué par les solutions du système:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x - 5 	&<			& 5x - 4 \\
4x-5	&\leqslant 	&1.
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous représente un cube dont la longueur des arêtes est 7 cm.

Sur ce cube sont tracé les segments [AB], [BC] et [CA].

Calculer le périmètre du triangle ABC. (On en donnera la valeur exacte.)

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(3.5,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(2.2,2.2)%EBDA
\psline(2.2,0.2)(3.2,1)(3.2,3)(2.2,2.2)%BFCD
\psline(3.2,3)(1.2,3)(0.2,2.2)%CGA
\pspolygon[linewidth=1.3pt](0.2,2.2)(2.2,0.2)(3.2,3)%ABC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1)(3.2,1)%E?F
\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(1.2,3)%?G
\uput[l](0.2,2.2){A} \uput[dr](2.2,0.2){B} \uput[ur](3.2,3){C} \uput[r](2.2,2.2){D} 
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[r](3.2,1){F} \uput[u](1.2,3){G}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité étant le centimètre, sur la figure dessous, on donne:

\begin{center}AB $= 2,4$ \quad;\quad AC $= 3$ \quad;\quad AD $= 5,6$.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.9)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.8,0.2)(3,2.3)%AED
\pspolygon(0.2,0.2)(2.2,0.2)(1.47,1.17)%ACB
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[ul](1.47,1.17){B} \uput[d](2.2,0.2){C} \uput[u](3,2.3){D} \uput[dr](4.8,0.2){E}
\psarc(0.2,0.2){0.45}{0}{36}\rput(0.8,0.35){$\alpha$}
\rput{-140}(3,2.3){\psframe(0.2,0.2)}\rput{-140}(1.47,1.17){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{center}

Les angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{ADE}}$ sont droits.

Calculer AE.

Calculer $\cos \alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $1\degres$ près.



\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Dans le plan l'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [CD] tel que CD = 5.

Placer sur le segment [CD] un point M.

Construire un rectangle CMKS tel que MK $= 2,5$.

Construire de l'autre côté de la droite (CD) le triangle équilatéral MDE.
\item La position du point M varie sur le segment [CD]; on pose CM $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre $p_1(x)$ du rectangle CMKS et le périmètre $p_2(x)$ du triangle MDE.
		\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} représenter graphiquement les fonctions $p_1$ et $p_2$.
	\end{enumerate}	
\item Comment peut-on déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle le périmètre du rectangle CMKS est égal au périmètre du triangle MDE.

Retrouver cette valeur par le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}