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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1987}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La tirelire de Jean contient 26 pièces, les unes de 5 F{}, les autres de 10 F{}, pour un montant total de $165$ F{}.

Combien Jean a-t-il de pièces de $5$~F et de pièces de $10$~F ?

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Factoriser l'expression $(1 - x)^2 - (x - 1)(x + 2).$

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La courbe suivante représente le \og poids \fg{} d'un bébé pendant les premiers jours de sa vie. (Ce \og poids \fg{} a d'abord diminué et ensuite augmenté.)

\begin{center}
\psset{yunit=20cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.05)(13,0.45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=1,Oy=2.9]{->}(0,0)(0,0)(13,0.45)
\pscurve(0,0.35)(1,0.328)(2,0.3)(3,0.22)(4,0.175)(5,0.124)(6,0.095)(7,0.15)(8,0.2)(9,0.225)(10,0.273)(11,0.3)(12,0.3025)
\multido{\n=0.0+0.1,\na=2.9+0.1}{5}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,0.45)}
\multido{\n=0.00+0.02}{22}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(13,\n)}
\uput[u](12.5,0){jours}\uput[r](0,0.425){Kg}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel a été le poids de ce bébé à la naissance ? à l'âge de 8 jours ?
\item Combien de jours après la naissance le poids de ce bébé a-t-il été de 3,2 kg ?

Combien de jours après la naissance le poids de ce bébé a-t-il été le plus faible ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le millimètre.

Un triangle ABC est tel que: AB $= 45$, AC $= 36$, BC $= 60$.

Le point D est tel que $\vect{\text{AD}} = \dfrac13\vect{\text{AC}}$.

E est le point d'intersection de la droite (AB) et de la parallèle à la droite (BC) passant par D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Calculer AE.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.4,5.1)
%\psgrid
\psline(4.2,4.6)(0.2,0.2)(4.9,0.2)(4.2,4.6)(8.2,2.3)(4.9,0.2)%OABOCB
\psline[linestyle=dashed](4.2,1.25)(4.2,4.6)(3.5,2.3)(4.9,0.2)%HODB
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(3.5,2.3)(8.2,2.3)%ADC
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4.9,0.2){B} \uput[ur](8.2,2.3){C}
\uput[ul](3.5,2.3){D} \uput[dl](4.2,1.25){H} \uput[u](4.2,4.6){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Une pyramide a pour base un carré de centre H et de côté 2. Les autres faces sont des triangles équilatéraux.

En considérant, par exemple, le triangle rectangle OHA, calculer OH.

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans cette partie, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire le cm$^2$.

Aux quatre coins d'un carré de côté 4, on enlève quatre carrés (superposables) de coté $x$.

On obtient ainsi une croix (en noir sur la figure).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5,6)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.9)(4.5,5.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,3.7)(1.7,3.7)(1.7,5.2)(3,5.2)(3,3.7)(4.5,3.7)(4.5,2.4)(3,2.4)(3,0.9)(1.7,0.9)(1.7,2.4)(0.2,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3,5.6)(4.5,5.6)\uput[u](3.75,5.6){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,0.2)(4.5,0.2)\uput[u](2.35,0.2){$4$}
\uput[ul](0.2,5.2){A} \uput[ur](4.5,5.2){B} \uput[dr](4.5,0.9){C} \uput[dl](0.2,0.9){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire de la croix est $16 - 4x^2$.
		\item Calculer $x$ pour que l'aire de la croix soit la moitié de
celle du carré ABCD.

Pour la suite de l'exercice, on donne à $x$ la valeur $\sqrt 2$.
	\end{enumerate}
\item $\mathcal{A}$ désigne l'aire du carré ABCD et $\mathcal{A}'$ celle du carré
EFGH.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5,5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(4.5,4.5)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,3.7)(1.7,3.7)(1.7,5.2)(3,5.2)(3,3.7)(4.5,3.7)(4.5,2.4)(3,2.4)(3,0.9)(1.7,0.9)(1.7,2.4)(0.2,2.4)
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3,5.6)(4.5,5.6)\uput[u](3.75,5.6){$x$}
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,0.2)(4.5,0.2)\uput[u](2.35,0.2){$4$}
\psline(0.2,1.7)(4.5,1.7)\psline(0.2,3)(4.5,3)
\psline(1.7,0.2)(1.7,4.5)\psline(3,0.2)(3,4.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,1.7)(3,3)
\uput[ul](0.2,4.5){A} \uput[ur](4.5,4.5){B} \uput[dr](4.5,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[ul](1.7,3){E} \uput[ur](3,3){F} \uput[dr](3,1.5){G} \uput[dl](1.7,1.7){H}
\uput[u](1.7,4.5){I} \uput[u](3,4.5){J}
\end{pspicture}
\end{center}

La figure ci-dessus donne l'impression (fausse) que $\dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}}$ est
égal à  $\dfrac19$.

L'objet de cette question est d'apprécier l'écart entre les 
nombres $\dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}}$ et $\dfrac19$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur des côtés du carré EFGH ; en déduire
son aire $\mathcal{A}'$.

Montrer que $\dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}} = \dfrac32 - \sqrt 2$.
		\item En utilisant l'encadrement $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner un
encadrement de $\dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}}$ d'amplitude $10^{-3}$.
		\item Donner un encadrement de $\dfrac19$, d'amplitude $10^{-3}$.
		\item Déduire des deux questions précédentes un encadrement
de $\dfrac19 - \dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}}$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}