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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voici une courbe de températures enregistrées au cours d'une journée. 

En abscisses, 1 cm représente deux heures et en ordonnées 1 cm représente deux degrés. 

Observer la courbe, pour répondre aux questions suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle a été la température à 0 h ? à 9 h ?
\item À quelle heure la température la plus élevée a-t-elle été
enregistrée ? Quelle était cette température ?
\item Ce jour-là, il faisait $5\degres$, lorsque je suis sorti. Quelle heure
pouvait-il être ?
\item De quelle heure à quelle heure a-t-il gelé ?

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.15,-2)(25,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=5]{->}(0,0)(0,-2)(25,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,-2)(25,8)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,1)(2.5,0)(6,-2)(9,0)(12,5)(14.5,7.4)(18,5)(24,2.4)
\uput[u](24.5,0){heure}\uput[r](0,7.5){degrés}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Déterminer le nombre $n$ sachant qu'on obtient \np{1241}, 
ajoutant les $\dfrac23$ et les $\dfrac34$ de ce nombre.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $\left(x^2 - 25\right) + (x - 5)^2$.
\item Résoudre l'équation $\left(x^2 - 25\right) + (x - 5)^2 = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le triangle ABC est-il rectangle en A? On justifiera la réponse.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6.5,5.5)
\pspolygon(1,1.8)(1.7,5)(6,0.5)%ABC
\uput[dl](1,1.8){A} \uput[u](1.7,5){B} \uput[dr](6,0.5){C} 
\rput(0.6,3.3){6 cm}\rput(3.5,0.9){9 cm}\rput(4.3,3.4){11 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les droites $\mathcal{D}$  et $\mathcal{D}'$ sont coupées par quatre droites
parallèles $\mathcal{D}_1$, $\mathcal{D}_2$,  $\mathcal{D}_3$ et $\mathcal{D}_4$. 

Calculer les distances BC et GH, sachant que

\begin{center}AB $= 9$,\quad CD $= 19$,\quad EF $= 8$\quad et \quad FG $= 17$.\end{center}

On donnera chaque résultat sous la forme d'une fraction .

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6.3)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{0}{5.8}{x 0.4 mul 0.5 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{0.3}{4.9}{x 0.4 mul 2.2 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{0.6}{4}{x 0.4 mul 3.8 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{0.9}{3.8}{x 0.4 mul 4.5 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{0.2}{1.8}{x 3.9 mul 1 sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{2.3}{5.9}{9 x 1.2 mul sub}
\uput[ul](1.6,5.1){A} \uput[ul](1.38,4.27){B} \uput[ul](0.9,2.55){C} \uput[ul](0.42,0.63){D} 
\uput[ur](2.7,5.6){E} \uput[ur](3.12,5.1){F} \uput[ur](4.1,3.9){G} \uput[ur](5.15,2.6){H} 
\uput[r](0.2,0.1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](5.8,2){$\mathcal{D}'$}
\uput[r](3.8,6){$\mathcal{D}_1$}\uput[r](4,5.4){$\mathcal{D}_2$}\uput[r](4.9,4.1){$\mathcal{D}_3$}\uput[r](5.8,2.8){$\mathcal{D}_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On veut construire un garage dont les dimensions sont données sur le dessin.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,5.5)
\psframe(1.8,0.9)(5.8,3.4)
\psline(5.8,0.9)(8.8,1.4)(8.8,3.9)(5.8,3.4)
\psline(8.8,3.9)(6.8,4.9)(3.8,4.4)(5.8,3.4)
\psline(3.8,4.4)(1.8,3.4)
\psarc(5.8,3.4){1}{153}{180}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.8,0.7)(5.8,0.7)\uput[d](3.8,0.7){3 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,0.9)(0.7,3.4)\uput[l](0.7,2.15){1,9 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.8,4.6)(6.8,5.1)\uput[u](5.3,4.85){5 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.8,0.9)(3.8,4.4)\uput[r](3.8,2.65){$h$}
\rput(4.4,3.7){$30\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur $h$ du garage. 

On donnera une valeur approchée à 1 cm près.
\item Calculer l'aire $S$ du toit. 

On donnera une valeur approchée à 1 dm$^2$ près, puis une valeur approchée à 1 m$^2$ près. 

Ces valeurs seront données par excès.

On pourra utiliser les résultats suivants :

\[\sin (30\degres) = \dfrac12, \quad  \cos (30\degres) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\quad  \tan (30\degres) = \dfrac{\sqrt 3}{3}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie }

\medskip

L'unité est le centimètre.

ABCD est un carré de côté 8. E est le milieu du segment [AB]. 

F est le milieu du segment [AD]. I est le milieu du segment [EF].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure, en vraie grandeur.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'égalité $\vect{\text{IE}} + \vect{\text{IF}}= \vect{0}$, montrer que
		
\[\vect{\text{AE}}+ \vect{\text{AF}}= 2\vect{\text{AI}}.\]

		\item En déduire que $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} = 4\vect{\text{AI}}$.
		\item En déduire que $\vect{\text{AC}}= 4\vect{\text{AI}}$.
	\end{enumerate}	
\item J est le projeté orthogonal de I sur la droite (AD). K est
le projeté orthogonal de I sur la droite (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que AJ $= 2$ et que AK $= 2$.
		\item Montrer que le quadrilatère AKIJ est un carré.
		\item Soit $s$ l'aire du carré AKIJ. Soit $S$ l'aire du carré ABCD.

Calculer $\dfrac{s}{S}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}