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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble\footnote{Dijon} juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

1. On donne $C = \sqrt 2\sqrt{48} - 3\sqrt{54}+ 5\sqrt 6$. 

Montrer que $C$ est un nombre entier.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel. on considère 

\[f(x) = 4x^2 - 9^- (2x + 3)(3x - 4).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) (2x + 3)(1 - x)$.
\item Calculer $f(1)\:;\:f\left(-\dfrac32 \right)\:;\:f(0)$.

Écrire $f\left(\dfrac38\right)$ sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

J'ai cueilli 84 trèfles, certains ont 3 feuilles, les autres 4 feuilles. 

On compte en tout 258 feuilles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ désignant le nombre des trèfles à 3 feuilles et $y$ celui de trèfles à 4 feuilles, expliquer pourquoi $x$ et $y$ sont les solutions du système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 84\\
3x + 4y &=&258.
\end{array}\right.\]

\item Résoudre le système précédent et en déduire le nombre de trèfles à quatre feuilles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

ABC est un triangle équilatéral dont chaque côté mesure $10$~cm. 

La hauteur issue de A relative au côté [BC] coupe la droite (BC) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure. (Aucune explication n'est demandée.)
\item Montrer que I est le milieu du segment [BC]. Calculer AI.
\item Soit H le symétrique de I par rapport à O milieu du segment [AC).

Placer O et H sur la figure.

Montrer que le quadrilatère AHCI est un rectangle. Calculer HC.
\item Montrer que les droites (OI) et (AB) sont parallèles. 
÷item Calculer BH sachant que HC $= 5\sqrt 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{Les parties $1$ et $2$ sont indépendantes}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle rectangle en A. AB $= 6$ et AC $= 12$.

E est un point du segment [AB] distinct de A et de B.

On pose EB $= x$.

La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F.

La parallèle à la droite (AB) passant par F coupe la droite (AC) en G.

Le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle (on l'admettra).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,8.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.8,0.2)(0.2,7.9)%ABC
\psline(2.3,0.2)(2.3,3.4)(0.2,3.4)%EFG
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\psframe(2.3,0.2)(2.5,0.4)
\psframe(2.3,3.4)(2.1,3.2)
\psframe(0.2,3.4)(0.4,3.2)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.8,0.2){B} \uput[u](0.2,7.9){C} \uput[d](2.3,0.2){E}
\uput[ur](2.3,3.4){F} \uput[l](0.2,3.4){G} \uput[u](3.05,0.2){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les égalités $\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}} \:; \quad \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}$.

Comparer les quotients $\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}$ et $ \dfrac{\text{AG}}{\text{AC}}$.
		\item Sachant que $\dfrac{x}{6} = \dfrac{\text{AG}}{12}$, calculer AG en fonction de $x$.
		\item Calculer AE en fonction de $x$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du rectangle AEFG en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Voir la représentation graphique ci-dessous (repère (O, I, J)). Un point de cette courbe a pour abscisse $x$ et pour ordonnée l'aire $\mathcal{A}$ correspondante.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt](0,0)(8,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=30](0,0)(0,0)(8,20)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{x 2 mul 6 x sub mul}
\uput[u](7.8,0){$x$} \uput[r](0,19.6){$\mathcal{A}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(2,18)(4,18)
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant cette représentation graphique, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $\mathcal{A}$ est égale à $10$ ?
		\item Quelle est la plus grande valeur de $\mathcal{A}$ ?
		
Quelle est la valeur de $x$ correspondante ?

Où se trouve alors le point E du segment [AB] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}