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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Grenoble}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans une classe de Troisième de $29$ élèves, on a fait une
enquête pour connaître la répartition des familles selon le nombre d'enfants. 

Dans cette classe, il n'y a pas d'élèves qui soient frères ou sœurs.

Voici un diagramme représentant les réponses obtenues. 

Sur ce diagramme on a oublié de faire figurer le \og bâton \fg{} correspondant aux familles qui ont 3 enfants.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowsize = 2pt 3}
\begin{pspicture}(12,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12,11)
\uput[u](10,0){Nombre d'enfants}
\uput[r](0,10.5){Effectif}
\psset{linewidth=1.5pt}
\psline(1,6)\psline(2,9)\psline(4,3)\psline(5,1)\psline(6,2)\psline(7,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est, pour cette classe, le nombre de familles ayant 2 enfants ?
\item Quel est, pour cette classe, le nombre de familles ayant 3 enfants ?
\item Quel est, pour cette classe, le pourcentage des familles ayant deux ou moins de deux enfants ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. RECT est un rectangle.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,arrowsize = 2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(3.4,2.2)%TCER
\pspolygon(1.4,2.2)(3.4,0.8)(0.2,0.2)%IPT
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,2.5)(1.4,2.5)\uput[u](0.8,2.5){3}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.4,2.5)(3.4,2.5)\uput[u](2.4,2.5){5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.7,2.2)(3.7,0.8)\uput[r](3.7,1.5){3}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.7,0.8)(3.7,0.2)\uput[r](3.7,0.5){2}
\uput[l](0.2,2.2){R} \uput[d](1.4,2.2){I} \uput[ur](3.4,2.2){E}
\uput[ur](3.4,0.8){P} \uput[dr](3.4,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){T}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le périmètre du triangle TIP.
\item Deux: élèves ont calculé le périmètre du triangle TIP. 

Marcel a trouvé $2\sqrt{17}\left(\sqrt 2 + 1\right)$.

Paul a trouvé $2\sqrt{34}\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$.

La réponse de Marcel est-elle exacte ?

La réponse de Paul est-elle exacte ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

1) L'unité de longueur est le centimètre.
Le schéma ci-après représente un soupirail ayant la forme d'un triangle isocèle ABC.


\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,arrowsize = 2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-0.6)(2,2.8)
\pspolygon(0,2.6)(-1.8,0)(1.8,0)%ABC
\psline(-1.2,0)(-1.2,0.85)
\psline(-0.6,0)(-0.6,1.72)
\psline(1.2,0)(1.2,0.85)
\psline(0.6,0)(0.6,1.73)
\psline(-1,-0.1)(-0.8,0.1)
\psline(-0.4,-0.1)(-0.2,0.1)
\psline(-1.6,-0.1)(-1.4,0.1)
\psline(1.6,-0.1)(1.4,0.1)
\psline(1.,-0.1)(0.8,0.1)
\psline(0.4,-0.1)(0.2,0.1)
\psline(0,2.6)
\uput[u](0,2.6){A} \uput[l](-1.8,0){B} \uput[r](1.8,0){C} \uput[ul](-1.2,0.8){D}
\uput[d](-1.2,0){E} \uput[ul](-0.6,1.6){F} \uput[d](-0.6,0){G} \uput[ur](0.6,1.6){H}
\uput[d](0.6,0){I} \uput[ur](0.6,1.6){J} \uput[d](1.2,0){K} \uput[d](0,0){M}
\psframe(-1.2,0)(-1.05,0.15)\psframe(0,0)(0.15,0.15)
\psframe(-0.6,0)(-0.45,0.15) \psframe(0.6,0)(0.75,0.15) 
\psframe(1.2,0)(1.35,0.15)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.8,-0.5)(1.8,-0.5)\uput[d](0,-0.5){120}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait que AM $= 90$ et que BC $= 120$.

Ce soupirail est muni de 5 barreaux verticaux régulièrement
espacés. On négligera l'épaisseur des barreaux.

On admettra que la droite (AM) est un axe de symétrie de la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer DE et FO.
\item Quelle est la longueur totale des 5 barreaux ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le téléphérique de la Crête Blanche dont le départ est à
\np{2000}~m d'altitude et l'arrivée à \np{2800}~m d'altitude a une vitesse de 4 m/s.

Le câble du téléphérique, supposé rectiligne, fait un angle de $25\degres$ avec l'horizontale.

Cette situation est représentée par le schéma ci-après.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,arrowsize = 2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(7,3.2)
\pspolygon(0.5,0.2)(5.2,0.2)(5.2,2.4)
\uput[r](5.2,2.7){Arrivée du téléphérique}
\uput[r](5.2,2.4){Altitude \np{2800}~m}
\uput[r](5.2,0.2){Altitude \np{2000}~m}
\psframe(5.2,0.2)(5,0.4)
\uput[d](0.4,0){Départ du téléphérique}
\psarc(0.5,0.2){0.5}{0}{25}\rput(1.45,0.45){\small $25 \degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du câble (on donnera la valeur arrondie, au mètre).
\item Ce téléphérique met-il plus de $8$ minutes pour effectuer la montée ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,arrowsize = 2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.4)(10,4)
%\psgrid
\psline(2.3,3.2)(0.2,0.4)(3.2,0.4)(2.3,3.2)(4.4,1.7)(3.2,0.4)%??A??
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.4)(4.5,1.7)(1.4,1.7)(3.2,0.4)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.4)(1.4,1.7)(2.3,3.2)
\psline(2.3,1.25)(2.45,1.08)(2.45,0.95)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.2)(3,0.2)\uput[d](1.5,0.2){9}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.45,0.4)(4.6,1.7)\uput[r](4.1,1.05){9}
\psline[linestyle=dashed](2.3,3.2)(2.3,1.05)\uput[l](2.3,2.125){$x$}
\rput(2.2,-0.4){modèle \textcircled{1}}
\uput[d](2.3,1.05){H}\uput[u](2.3,3.2){A}
%%%%%%%%%
\psframe(4.8,0.4)(8.1,1.1)
\psline(8.1,0.4)(9.1,1.4)(9.1,2.1)(8.1,1.1)
\psline(9.1,2.1)(8.1,2.1)\psline(6.5,2.1)(6,2.1)(4.8,1.1)
\psframe(6.5,1.5)(7.7,3.6)
\psline(7.7,1.5)(8.1,1.9)(8.1,3.9)(7.7,3.6)
\psline(8.1,3.9)(7,3.9)(6.5,3.6)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,3.6)(6,1.5)\uput[l](6,2.75){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.8,0.2)(8.1,0.2)\uput[d](6.45,0.2){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.3,0.4)(9.3,1.4)\uput[r](8.8,0.9){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.5,1.3)(7.7,1.3)\uput[d](7.1,1.3){3,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.9,1.5)(8.3,1.9)\uput[r](8.1,1.7){2}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(9.3,1.4)(9.3,2.1)\uput[r](9.3,1.75){2}
\rput(7.2,-0.4){modèle \textcircled{2}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre.

Les schémas ci-dessus représentent deux presse-papiers.

Le modèle \textcircled{1} est une pyramide régulière dont la hauteur [AH] mesure $x$ et dont la base est un carré de côté 9.

Le modèle \textcircled{2} est constitué de deux parallélépipèdes rectangles posés l'un sur l'autre.
Les dimensions de l'un des parallélépipèdes sont 2, 6, 10. Les dimensions de l'autre sont $x$, 2 et 3,5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $x = 8$. Calculer alors le volume de
chaque presse-papiers (l'unité de volume est le cm$^3$).
\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume $V_1$ du modèle \textcircled{1}
et le volume $V_2$ du modèle \textcircled{2} (l'unité de volume est le cm$^3$).
\item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, représenter
graphiquement les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives $y = 27x$ et $y = 7x+120$.

Sur l'axe des abscisses, 1 cm représentera une unité.

Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représentera vingt unités.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle les deux presse-papiers
de modèle \textcircled{1} et de modèle \textcircled{2} ont le même volume. 

Calculer alors ce volume. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et de $d_2$ ?
\end{enumerate}
\end{document}