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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le mètre. L'unité d'aire est le mètre carré. 

À l'occasion d'un remembrement en région agricole, on veut échanger le terrain rectangulaire ABCD contre le terrain rectangulaire AEFG (schéma ci-dessous).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5,4.8)
\psframe(0.5,0.5)(3.3,4.3)%AEFG
\psframe(0.5,0.5)(4.4,3.5)%ABCD
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.3)(4.4,0.3)\uput[d](2.45,0.3){112,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.3,3.7)(4.4,3.7)\uput[u](3.85,3.7){37,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,3.5)(0.3,4.3)\uput[l](0.3,3.9){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.6,3.5)(4.6,0.5)\uput[r](4.6,2){88}
\uput[l](0.5,0.5){A} \uput[dr](4.4,0.5){B} \uput[ur](4.4,3.5){C} \uput[dl](0.5,3.5){D}
\uput[d](3.3,0.5){E} \uput[ur](3.3,4.3){F} \uput[u](0.5,4.3){G} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du terrain ABCD.

On note DG $= x$.

Calculer l'aire du terrain AEFG en fonction de $x$.
\item L'échange des terrains n'est possible que si les deux terrains ont la même aire.

Calculer $x$ pour que cette condition soit réalisée.
\item On se place dans le cas précédent (autrement dit $x = 44$). 

Le terrain ABCD est clos par un grillage. On pense le réutiliser pour clore le terrain AEFG.

Sa longueur sera-t-elle suffisante ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. 

Le triangle CRU est isocèle de sommet R. On sait que HU $= 4$ et HR $= 6$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.3,-0.2)(1.3,2.3)
\pspolygon(-1.3,0.)(1.3,0)(0,2)%CUR
\psline(0,2)(0,0)%RH
\uput[r](1.3,0){U} \uput[u](0,2){R} \uput[l](-1.3,0){C} \uput[d](0,0){H}
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer RU. On donnera la valeur exacte.
\item Montrer que le périmètre du triangle CRU est $8 + 2\sqrt{52}$.
\item Les nombres ci-dessous sont les réponses données par
différents élèves à la question 2.

Réponses données : 

\[8 + \sqrt{104}\:;\quad 4\left(2 + \sqrt{26}\right)\:;\quad 8 + 4\sqrt{13}\:;\quad 2\left(4 + \sqrt{52}\right).\]

Quelles sont toutes les réponses exactes ? Justifier vos choix.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le mètre}

\medskip

Le dessin ci-après est la coupe d'une maison. 

Le triangle TOI est isocèle, de sommet T. 

On sait que TC $= 2$ et OI $= 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OC. Calculer l'angle $\widehat{\text{TOC}}$.

On donnera la valeur arrondie au degré près.
\item Dans le toit, il y a une gouttière en G qui fait une tache en A, sur le plafond.

On sait que OA $= 4$. On pourra prendre $\widehat{\text{TOC}} = 24\degres$.

Calculer OG. On donnera la valeur arrondie à $0,1$ près.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.7,-1.9)(2.7,1.5)
\psframe(-2.7,-1.8)(2.7,0)%rectangle
\psline(-2.7,0)(0,1.1)(2.7,0)%OTI
\psline(0,1.1)(0,0)%TC
\psline(-0.5,0)(-0.5,0.91)%GA
\uput[d](-0.5,0){A} \uput[d](0,0){C} \uput[ur](2.7,0){I} \uput[u](-0.5,0.91){G}
\uput[ul](-2.7,0){O}\uput[u](0,1.1){T}
\psframe(0,0)(0.2,0.2)\psframe(-0.5,0)(-0.3,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Un flacon de verre a la forme d'un cône de révolution. 

Sa hauteur est 7 cm. 

Sa base est un disque de 3 cm de rayon. 

Dans cet exercice, on ne tient pas compte de l'épaisseur du verre.


\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(2.5,3)
\psellipticarc(0,0)(0.9,0.2){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(0.9,0.2){0}{180}
\psellipticarc(0,1)(0.6,0.1){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1)(0.6,0.1){0}{180}
\psline(-0.9,0)(0,2.9)(0.9,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.4,0)(1.4,1)\uput[r](1.4,0.5){réservoir}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.4,1)(1.4,2.9)\uput[r](1.4,1.95){bouchon}
\psline[linestyle=dashed](0,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de ce cône. 

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm! près.
\item En réalité, ce flacon est constitué par un réservoir et un bouchon obtenu en coupant le cône par un plan parallèle à la base (voir schéma ci-dessus). 

La hauteur du bouchon est $4$ cm. 

Calculer le volume du bouchon.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm$^3$ près.
\item Le réservoir peut-il contenir $50$~cm$^3$ de parfum ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\textbf{Partie I} 

\medskip

Depuis les premiers règlements du football, les cages de football ont une ouverture rectangulaire de $2,44$~m de hauteur et $7,32$~m de largeur.

Très récemment, on a envisagé de porter la hauteur à $2,60$~m et la largeur à $7,75$m.

On a représenté l'ouverture des cages, dans un repère orthogonal d'origine O, par deux rectangles OABC et OA$'$B$'$C$'$.

Le rectangle OABC représente l'ouverture des cages actuelle- ment utilisées. Le rectangle OA$'$B$'$C$'$ représente l'ouverture des cages envisagées.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(8.5,3.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(8.5,3)
\psline(0,2.44)(7.32,2.44)(7.32,0)%OABC
\psline(0,2.6)(7.75,2.6)(7.75,0)%OA'B'C'
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](7.32,0){A} \uput[r](7.32,2.44){B} \uput[dl](0,2.44){C}
\uput[d](7.75,0){A$'$} \uput[ur](7.75,2.6){B$'$} \uput[l](0,2.6){C$'$}
\uput[u](7,0){largeur en mètre}
\uput[r](0,3.05){hauteur en mètre}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item A l'aide des mesures données dans l'énoncé, écrire les coordonnées exactes des points O, A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$ de la représentation ci-dessus.
\item Donner l'équation de la droite (OB). 

On donnera la valeur exacte du coefficient directeur.
\item Les points O, B, B$'$ sont-ils alignés ? 

Justifier votre réponse.
\item Soit M le point de la droite (OB), d'ordonnée 2,6, calculer son abscisse.
\end{enumerate}

\textbf{Partie II} 

\medskip

Le changement de dimensions des cages est lié à l'évolution de la taille moyenne des hommes.

Pour la France, cette évolution se traduit par les données suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&1880 	&1910 	&1930 	&1940 	&1960 	&1970 	&1980 	&1990\\ \hline
Taille
moyenne en cm	&165 	&166 	&167 	&168 	&170 	&172 	&173 	&174\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter les données précédentes par un diagramme en bâtons.

Sur l'axe des abscisses, on prendra 1870 comme origine des années et 1 cm pour représenter 10 ans.

Sur l'axe des ordonnées, on prendra 1cm pour représenter $10$~cm de taille.
\item Quel est le pourcentage d'augmentation de la taille entre 1880 et 1990, par rapport à la taille en 1880 ? 

On donnera la valeur arrondie à $0,1$ près.
\item Aux dimensions actuelles des cages ($2,44$~m et $7,32$~m), on applique le pourcentage d'augmentation trouvé à la question précédente.

Quelles sont les dimensions obtenues ? On donnera les valeurs arrondies au cm près.
\end{enumerate}
\end{document}