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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Grenoble}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $E$ l'expression $(5x - 3)^2 - 4x(5x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer la valeur numérique exacte de $E$ pour $x = 2\sqrt 3$.
\item Résoudre l'équation $(5x - 3)(x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On a demandé à chacun des $275$ adhérents d'un club de football son pronostic pour l'issue du prochain match contre l'équipe de la ville voisine.

Les résultats de cette enquête apparaissaient sur le graphique tracé ci-contre, mais les deux derniers \og bâtons \fg{} de celui-ci ont été partiellement effacés.

\emph{Dans cet exercice, on ne demande pas de reproduire ce graphique.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, en le lisant sur le graphique, le pourcentage des adhérents du club qui croient en la victoire.

À partir de ce pourcentage, vérifier par le calcul qu'ils sont $132$.
\item On sait que 55 adhérents pensent que l'équipe adverse va gagner. Calculer le pourcentage qu'ils représentent: quelle doit être, sur le graphique, la hauteur du bâton correspondant, en mm ?

Calculer le nombre d'adhérents qui pronostiquent le match nul ; quelle doit être la hauteur du bâton correspondant ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,ticks=y,labels=none](0,0)(0,0)(4,5.1)
\uput[d](1,0){Victoire}\uput[d](2,0){Défaite}\uput[d](3,0){Match}
\uput[d](1,-0.4){du club}\uput[d](2,-0.4){du club}\uput[d](3,-0.4){nul}
\multido{\n=1+1,\na=10+10}{5}{\uput[l](0,\n){\na\,\%}}
\uput[r](0,5.1){Pourcentage du nombre total d'adhérents}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=\gray!20 ](0.8,0)(1.2,4.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=\gray!20 ](1.8,0)(1.8,1.7)(1.85,1.73)(1.9,1.65)(1.95,1.79)(2,1.7)(2.2,1.68)(2.2,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=\gray!20 ](2.8,0)(2.8,1.3)(2.85,1.23)(2.9,1.35)(2.95,1.49)(3,1.38)(3.2,1.58)(3.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice, l'unité est le cm.

Tracer un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB $= 4$ et AC $= 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BC (on donnera sa valeur exacte).
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ (on donnera son approximation décimale arrondie au dixième de degré).
\item Tracer le cercle de diamètre [AC].

Ce cercle coupe le segment [BC] en un point F, autre que C. Montrer que la droite (AF) est une hauteur du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Paul se trouve sur une plage et se demande s'il serait capable d'atteindre, à la nage, la bouée qu'il aperçoit. Pour répondre à cette question, il faudrait qu'il sache à quelle distance se trouve cette bouée.

Dans ce but, il imagine le dispositif suivant: il plante verticalement un bâton de un mètre de haut, exactement au bord de l'eau, en A, puis il se place en arrière de ce bâton, à l'endroit P où il peut aligner son œil O, le sommet S du bâton et la bouée B.

Paul mesure la distance AP : il trouve $30$~m. Il évalue la hauteur de son œil, par rapport à la surface de l'eau, à $1,6$m.

L'objectif de cet exercice est, comme celui de Paul, de calculer la distance BA.

 La situation est représentée par le schéma suivant (que l'on ne demande pas de reproduire).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.4,0)(10,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.4)(8.9,0.4)(0.2,2.6)%PBO
\psline[linewidth=1.75pt](3.3,0.4)(3.3,1.8)%AS
\rput{90}(3.5,1.1){bâton}
\uput[r](0,2.8){O (œil de Paul)} \uput[dl](0.2,0.4){P} \uput[d](8.9,0.4){B} \uput[dr](3.1,0.4){A}
\uput[u](3.3,1.8){S} \uput[l](0,1.5){1,6} \uput[d](1.65,0.4){30} \uput[l](3.3,1.1){1}
\end{pspicture}
\end{center}

On pose BA $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $\dfrac{\text{BP}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{OP}}{\text{SA}}$.

Utiliser cette égalité, après avoir remarqué que BP $= x + 30$, pour montrer que 

$x + 30 = 1,6x$.
\item Calculer la distance BA, séparant la plage de la bouée.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\emph{Dans cette partie, l'unité de longueur est le centimètre, l'unité de volume le centimètre cube et l'unité de masse le gramme.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,5.5)
\psframe(0,1.6)(2.1,3.7)
\psline(2.1,1.6)(3.3,2.5)(3.3,4.6)(2.1,3.7)
\psline(3.3,4.6)(1.2,4.6)(0,3.7)
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(1.2,2.5)(1.2,4.6)
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.5)(3.3,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,1.3)(2.1,1.3)\uput[d](1.05,1.3){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.8,1.6)(4,2.5)\uput[r](3.4,2.05){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4,2.5)(4,4.6)\uput[r](4,3.55){12}
\rput(2.1,0.1){Récipient A}
\psellipse(7,4)(1.05,0.5)
\psellipticarc(7,2)(1.05,0.5){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](7,2)(1.05,0.5){0}{180}
\psline(5.95,4)(5.95,2)\psline(8.05,4)(8.05,2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.9,1.1)(8,1.1)\uput[d](6.95,1.1){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.5,2)(8.5,4)\uput[r](8.5,3){15}
\rput(7.1,0.1){Récipient B}
\end{pspicture}
\end{center}

Les figures précédentes représentent deux récipients. Les dimensions indiquées sont les dimensions intérieures.

Le récipient A est un parallélépipède rectangle. Vide, sa masse est $100$ g.

Le récipient B est un cylindre de révolution. Vide, sa masse est $150$ g.

Dans le récipient A on verse de l'alcool. La masse de 1 cm$^3$ d'alcool est $0,8$ g. 

Dans le récipient B on verse de l'huile. La masse de 1 cm$^3$ d'huile est $0,6$ g.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume intérieur de chacun des récipients A et B.
		
(On arrondira le résultat concernant le récipient B au nombre entier le plus proche.)
		\item On verse $200$ cm$^3$ d'alcool dans le récipient A ; calculer la masse totale de ce récipient.
		\item La masse totale du récipient B est $450$ g; quel volume d'huile y
a-t-on versé ?
	\end{enumerate}
\item On verse un volume $x$ d'alcool dans le récipient A et le même volume $x$ d'huile dans le récipient B.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la masse totale $y_{\text{A}}$ du récipient est:

\[y_{\text{A}} = 0,8x + 100.\]

Exprimer, en fonction de $x$, la masse totale $y_{\text{B}}$ du récipient B.
		\item On place le récipient A sur l'un des plateaux d'une balance et le
récipient B sur l'autre.

Montrer que pour $x = 250$, la balance est en équilibre.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
\end{enumerate}

\emph{Pour les représentations graphiques, on placera l'origine en bas à gauche d'une feuille de papier millimétré et on choisira sur chacun des deux axes l cm pour
représenter 50 unités.}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter dans ce repère la droite $d_1$ d'équation $y = 0,8x +
100$ et la droite $d_2$ d'équation $y = 0,6x + 150$.
		\item Calculer les coordonnées du point E commun aux droites $d_1$ et $d_2$. 
		
Que représentent ces coordonnées, en relation avec la question 2. b. ?
		\item En laissant apparents les tracés utilisés, retrouver sur le graphique le résultat obtenu à la question 1. c.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}