\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Grenoble octobre 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs l'expression suivante :
\[(x - 2) (2x + 5)- (3x - 4) (x - 2) + (x - 2) (2x - 7).\]

Pour quelles valeurs de $x$ le produit obtenu est-il nul?
\item Construire les droites $L$ et $L'$ représentant respectivement les fonctions suivantes:
\begin{center}$y_1 = x - 2$\qquad et \qquad $y_2 = x + 2$.\end{center}

Comparer les directions de ces deux droites.
\item La droite $L$ coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B et la droite $L'$ coupe $x'x$ en C et $y'y$ en D.

Quelles sont les coordonnées de ces quatre points ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\item Former les équations des droites contenant les côtés [BC] et [AD] du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne le cercle de centre O, de rayon $R$ et deux diamètres rectangulaires [AB] et [CD].

On prend sur [AO] le point E tel que EO $= \dfrac{\text{AO}}{3}$.

(CE) coupe le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CE en fonction de $R$.
\item Démontrer que les triangles CEO et CDM sont semblables. 

Calculer les longueurs des  côtés et de la hauteur [MH] du triangle CDM.
\item Démontrer que le quadrilatère MEOD est inscriptible.

Préciser la position du centre de ce cercle et son rayon.
\item Quelle est l'aire de ce quadrilatère ?
\end{enumerate}
\end{document}