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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On considère dans le système d'axes de coordonnées O$x$ et O$y$ un point B d'abscisse $x = 0$ et d'ordonnée $b$, un point M d'abscisse $x$ et d'ordonnée nulle et un point A d'abscisse $c$ et d'ordonnée $a$.

$b,\: x, \: c$ et $b$ sont choisis positifs sur la figure donnée.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1.2)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy = 5]{->}(0,0)(-2,-1.2)(2,2.5)
\psline(-1.2,0)(1.2,2.4)(1.2,0)%x'BAI
\psline(1.2,2.4)(0.7,0)(0,1.2)%AMB
\uput[d](-1.9,0){$x'$} \uput[l](0,2.4){$y$} \uput[ul](-1.2,0){B}
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,-1.1){$y'$} \uput[d](0.7,0){M}
\uput[ur](1.2,2.4){A} \uput[d](1.2,0){I} \uput[d](1.9,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du triangle BMA a pour expression
\[y = \dfrac{bc}{2} + \dfrac{a - b}{2} x.\]

(se servir à cet effet de l'aire du trapèze AIOB).
\item Construire la courbe représentative des variations de $y$, quand $x$ varie, pour $b=1$, \:$a=3$,\: $c=2$.
\item Pour quelle valeur négative de $x$, cette aire est-elle nulle, $b, a$ et $c$ conservant les valeurs données au paragraphe 2. ?
\item Dans le cas où $a = b$, quelle est la direction de la droite (AB) ?

Montrer alors que l'aire du triangle AMB est constante et indépendante de la position du point M.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment de droite [AB] tel que AB $= 2a$.

Soit M le milieu de ce segment.

On porte sur la médiatrice de ce segment D tel que  MD $= \dfrac a2$.

On trace la droite (AD) et l'on mène du point B la perpendiculaire à (AD) ; soit C le pied de cette perpendiculaire situé sur [AD] prolongé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD.

Démontrer que les triangles ADM et ABC sont semblables.

Démontrer que
\begin{center}AM $\times$ AB= AD $\times$ AC.\end{center}

 Calculer AC et CB.
\item Soit CH la hauteur du triangle ACB.

Démontrer que le triangle ACH est semblable aux triangles ADM et CHB.

Calculer HB, CH, AH.
\item On mène la bissectrice [CE) de l'angle droit $\widehat{\text{C}}$ (E étant sur l'hypoténuse).

Calculer AE et EB.
\end{enumerate}
\end{document}