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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux personnes possèdent respectivement \np{30000} et \np{24000}~francs.

Chaque mois, l'avoir $y_1$ de la première diminue d'une quantité $a$ et l'avoir $y_2$ de la deuxième augmente dans le même temps d'une quantité double, $2a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a$, sachant qu'au bout de $12$~mois, le rapport des avoirs des deux personnes est $\dfrac23$.
\item Dans le cas où $a = 500$, exprimer les avoirs $y_1$ et $y_2$ des deux personnes en fonction du temps $x$, exprimé en mois.

Représenter graphiquement ces avoirs (prendre sur l'axe des abscisses 1~cm pour $4$~mois
et, sur l'axe des ordonnées, $1$~cm pour \np{12000}~francs).

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des deux courbes et quelle est leur signification ?
\item Une troisième personne a un avoir, $y_3$, qui, à chaque instant, est égal à $2y_1 + y_2$.

Représenter sur le graphique précédent les variations de $y_3$ en fonction du temps.

Que pouvez-vous dire des points d'intersection des courbes $y_2$ et $y_3$ et du point d'intersection de la courbe $y_1$ avec l'axe des $x$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 4$~cm et, sur le prolongement de [AB], au delà de B, un point C tel que BC $= 2$ AB.

Sur une droite passant par A et recoupant le cercle $\mathcal{C}$ en D, on prend un point M tel que
\[\overline{\text{AM}} \times \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AO}} \times \overline{\text{AC}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ADO et ACM et donner la nature du triangle ACM.
\item Sur quelle ligne se déplace le point M quand la droite (AD) tourne autour du point A ?
\item Montrer que le quadrilatère ODMC est inscriptible dans un cercle.

Sur quelle ligne se déplace le centre de son cercle circonscrit quand la droite (AD) tourne autour du point A ?
\item Soit $\alpha$ la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAD}}$.

Pour quelle valeur de $\alpha$ les droites (OD) et (CM) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
\end{document}