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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le système d'équations suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y &=& 4,\\
x - 2y &=&9.
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Le couple $(- 4~;~+ 4)$ est-il solution de la première équation ?
		\item Le couple (+ 3~;~+ 5) est-il solution de la deuxième équation ?
		\item Résoudre le système des deux équations.
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations des fonction
\begin{center}$y_1 = -\dfrac23 x + \dfrac43$\quad et\quad $y_2 = \dfrac x2 - \dfrac92$.\end{center}

Construire les représentations graphiques de ce deux fonctions sur un même repère cartésien.

Déterminer les coordonnées du point A, intersection d deux lignes obtenues.
\item Soit B le point de coordonnées (+ 3~;~+ 2) ; quelle est l'équation de la droite (AB) et quelles sont le coordonnées de son point d'intersection, C, avec $y'\text{O}y$ ?
\item Quelles sont les coordonnées du milieu, M, de [AC] et l'équation de la droite (OM) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère, sur une droite, deux points, A et B, tel que AB $= 5$ ; soit C le point extérieur au segment qui le divise dans le rapport 
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac72.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CA et CB.
\item On trace une corde [AD] du cercle de diamètre [AB] ; la perpendiculaire en C à (AB) coupe (AD) en E.

Montrer que
\[\text{AD}~\cdot~\text{AE} = \text{AB} \cdot \text{AC}.\]

\item On désigne par F l'intersection des droites (DB) et (EC) et par H celle des droites (AF) et (EB).

Montrer que H appartient au cercle de diamètre [AB].
\item Dans le cas où l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ est égal à $30\degres$, calculer AD, AE, DE, EC et CF.
\end{enumerate}
\end{document}