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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On désigne par $f$ et g deux fonctions numériques.

La première, $f$, associe à tout nombre réel $x$ une image $f(x)$ donnée par
\[f(x) = (2x + 5)^2 - (x- 3)^2.\]

La seconde, $g$, associe à tout nombre réel $x$ une
image $g(x)$ donnée par
\[g(x) = (x + 8)\left(x^2 + 6x + 10\right) - (x + 8)(x - 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ par rapport aux puissances décroissantes de la variable $x$ ; faire de même pour $g(x)$.
\item Écrire sous forme de produits de facteurs du premier degré $f(x)$, puis $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ (ensemble des nombres réels) les deux équations
$f(x) = 0$ et $g(x) = 0$.
\item On appelle $F$ la fonction qui au nombre réel $x$ fait correspondre
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{ g(x)}.\]

Quel est le domaine de définition de $F$ ? 

Résoudre dans $\R$ l'équation $F(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R$ le système d'inéquations suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2&>&0,\\
14x - 6 &<& 0
\end{array}\right.\]
 et en déduire le signe de $F(x)$ si $- \dfrac23 < x < \dfrac37$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé, on donne les points L, M, N et B par leurs coordonnées :

\begin{center}L(0~;~1),\quad M$(- 1~;~3)$,\quad  N(4~;~3)\quad  et\quad  B(5~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (L, M, N, B) est un parallélogramme.
\item On mène par M la parallèle à la diagonale (LN) du parallélogramme (L, M, N, B) ;  elle coupe la droite (BN) en A et la droite (BL) en C.

Démontrer que (M, A, N, L) et (M, N, L, C) sont des parallélogrammes.

\item Calculer les coordonnées des points C et A (on pourra éventuellement montrer que N et L sont les milieux respectifs de (A, B) et (B, C).

Calculer les distances de A à B,de A à C,de B à C.

En déduire que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
\item Soit $c$ l'écart angulaire (ou angle) déterminé par les demi-droites [CA) et [CB).

Calculer $\sin c$ et donner sa valeur approchée par défaut à $\dfrac{1}{\np{1000}}$ près (on donne 

$\sqrt 5 \approx 2,236$).
\end{enumerate}
\end{document}