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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les applications de $\R$ vers $\R$ qui, à tout nombre réel $x$, associent les nombres réels $f(x)$ et $g(x)$ tels que
\begin{center}$f(x) = x^2 - 4$ et $g(x) = 3x + 2$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les images par $f$ des nombres 
\begin{center}0,\quad 2,\quad $2\sqrt 2$,\quad $- \frac12$, \quad et \: 8.\end{center}
\item Calculer le nombre f[g(2)]
Le nombre réel $x$ étant supposé connu, calculer le nombre réel $f[g(x)]$.
\item Soit $u$ l'application de $\R$ vers $\R$ qui, à tout nombre réel $x$, associe le nombre réel $u(x)$ tel que
\[u(x) = (3x + 2)^2 - 4.\]

Calculer $x$ pour que son image par $u$ soit 0.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation 
\[u(x) = - 4.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Le plan affine $(P)$ est rapporté à un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les points A et B de $(P)$ tels que 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} =  2\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$\quad \text{et} $\vect{\text{OB}} =  - 3\vect{\imath} + \vect{\jmath}$.\end{center}

Construire le point M symétrique de O par rapport au milieu, I, du bipoint (A, B).

Calculer les coordonnées de M.
\item  On désigne par $f$ l'application de $(P) \times (P)$ vers $(P)$
qui, à tout bipoint, associe le symétrique de O par rapport au milieu de ce bipoint.

Ainsi, dans la question précédente, le point M est l'image de (A, B) par $f$ et l'on
écrit : M $=f$(A, B).

Soit C et D les points de $(P)$ tels que
\begin{center}$\vect{\text{OC}} =  4\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$\quad \text{et} $\vect{\text{OD}} =  - 5\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}$.\end{center}

Démontrer que $f$(A, B) = $f$(C, D).

L'application $f$ est-elle une bijection ?
\item On donne le point N de coordonnées $(4~;~- 1)$ et
le point E de coordonnées (3~;~2).

Construire le point F tel que $f$(E, F) = N.

Calculer les coordonnées de F.

\item Dans ce qui suit, le plan affine $(P)$ est euclidien et 
le repère \Oij{} est orthonormé.

On donne les points R de coordonnées $(6~;~- 3)$, S de
coordonnées (2~;~4) et K tel que 

K = $f$(R, S).

Les points O, R, K et S sont-ils les sommets d'un rectangle ?

Soit (T, U) un bipoint tel que $f$(T, U) = K et tel que (O, T, K, U) est un rectangle.

Qu'en conclut-on pour les points T et U ?

Préciser les positions de T et U pour lesquelles (O, T, K, U) est un carré .
\end{enumerate}
\end{document}