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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Soit la fonction polynôme définie par
\[f(x) = x^2 - 25 - (2x+10)(3x - 4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.

On désigne par $S$ l'ensemble des solutions. Donner les ensembles $S \cap \Q,\: S \cap \Z$ et $S \cap \N$.
\item Calculer $f(0);\: f\left(\dfrac35\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$. 

On écrira ce dernier nombre sous la forme $a + b\sqrt 2$, où $a$ et $b$ seront éléments de $\Z$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par
\[h(x)= \dfrac{x^2 + 10x + 25}{(x + 5)(3 - 5x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $E$ de $h$ ?
		\item Simplifier l'écriture de $h(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $E$, l'équation $h(x) = 0$.
\item Résoudre, dans $E$, l'équation $h(x) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} --on prendra comme unité le centimètre --, on considère les points:

\begin{center}A$(-5~;~3)$\:;\qquad  B$(-2~;~0)$\:;\qquad  C(0~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère (A, B, C, D) soit un parallélogramme. 

Que peut-on dire de ce parallélogramme ?
\item On désigne par $\mathcal{C}$ le cercle de centre C passant
par B. 

Ce cercle coupe l'axe des ordonnées $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$ en
E et en E$'$. (E désigne le point d'ordonnée positive et E$'$ l'autre.)
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle (B, C, E) ?
		\item Déterminer les coordonnées des points E et E$'$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la tangente de $\widehat{\text{ABE}}$.
		\item Montrer que le triangle (O ,B, C) est isocèle et
rectangle en O.
		\item En déduire la mesure en degrés de $\widehat{\text{BCO}}$,\: $\widehat{\text{BCE}}$
et $\widehat{\text{CEB}}$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du triangle (B, O, E), trouver la tangente de $67,5~\degres$ (ou 67 degrés 30 minutes).
\end{enumerate}
\end{document}