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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le nombre réel $- 1$ est-il solution de l'équation

\[\dfrac{x + \sqrt 3}{\sqrt 3 - 1} - 1  = \left(x + \sqrt 3\right)^2 ?\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

b) Trouver tous les nombres réels $x$ qui vérifient l'égalité 

\[x^2 - 3x + 4 = x.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ et $y$ étant deux nombres réels liés par l'égalité $5x - 2y +1 = 0 $, reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	& 		&2	&				&$\dfrac 25$\\ \hline
$y$	&	&$-1$	&	&$\dfrac 32$	&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

a) La figure de la page suivante représente un carré AEFD et un rectangle ABCD, B étant un point du segment [AE].

L'unité étant le centimètre, on donne les dimensions suivantes : AE $= 3$ et AB $= x$ (le nombre réel $x$ appartient à l'intervalle [0~;~3]). 

Exprimer en fonction de $x$ le périmètre $p(x)$ du rectangle ABCD.

Représenter graphiquement la fonction $p$ dans un repère orthonormal\Oij, (unité graphique : 1 cm).

Comment peut-on utiliser le graphique pour estimer la longueur du segment [AB] pour laquelle le périmètre du rectangle ABCD est égal à $10,5$~cm ? Donner cette estimation.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.3,5.5)
\psframe(0.2,0.2)(5,5)%AEFD
\psline(1.5,0.2)(1.5,5)%BC
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](5,0.2){E} \uput[ur](5,5){F} \uput[ul](0.2,5){D}
\uput[d](1.5,0.2){B} \uput[u](1.5,5){C}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un triangle isocèle (non équilatéral) où AB = AC.

Placer le point B$'$ image de B dans la symétrie par rapport à

la droite (AC) et le point C$'$ image de C dans la symétrie par rapport à la droite (AB).

Prouver que le triangle AB$'$C$'$ est isocèle.

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur $2$~cm. 

On désigne par I le milieu du segment [DC], J le symétrique de I par rapport au point C, E le symétrique de A par rapport au point D.

Les droites (BJ) et (AD) se coupent en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Calculer CJ, BJ et KB.

(Pour le calcul de KB, on pourra, par exemple, utiliser le
 rapport $\dfrac{\text{DC}}{\text{CJ}}$).
\item Démontrer que les droites (EC) et (BD) sont parallèles.
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{CBJ}}$.

En déduire une valeur approchée, à $1\degres$ près, de cet angle.

L'angle $\widehat{\text{DBJ}}$ est-il un angle droit? 
\end{enumerate}
\end{document}