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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble
 septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : $1 - \dfrac23 \times \dfrac67$.

On donnera le résultat sous la forme de la fraction la plus simple possible.
\item L'unité de longueur est le centimètre. L'unité d'aire est le centimètre carré.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.8,3.8)
\psframe[fillstyle=hlines](0.9,0.6)(3.2,2.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.9,2.3)(1.5,2.9)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.9,3.1)(1.5,3.1)\uput[u](1.2,3.1){2}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.9,3.5)(3.5,3.5)\uput[u](2.2,3.5){$5x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,2.3)(0.7,2.9)\uput[l](0.7,2.6){2}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,0.3)(0.4,3.2)\uput[l](0.4,1.75){$5x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.2,3.1)(3.5,3.1)\uput[u](3.35,3.1){1}
\psframe(0.9,2.3)(1.05,2.45)\psframe(1.5,2.9)(1.35,2.75)
\psframe(0.9,0.6)(1.05,0.75)%\psframe(3.2,0.6)(3.05,0.45)
\psline(0.9,0.6)(0.9,0.3)(3.5,0.3)(3.5,2.9)(3.2,2.9)
\psframe(0.9,0.3)(1.05,0.45)\psframe(3.5,0.3)(3.35,0.45)
\psframe(3.2,0.6)(3.05,0.75)\psframe(0.9,2.9)(1.05,2.75)
\psframe(3.2,2.9)(3.05,2.75)\psframe(3.5,2.9)(3.35,2.75)
\uput[ul](0.9,2.9){A} \uput[ur](1.5,2.9){B} \uput[ul](3.2,2.9){C} \uput[r](3.5,2.9){D}
\uput[dr](3.5,0.3){E} \uput[d](0.9,0.3){F} \uput[ul](0.9,0.6){G} \uput[r](3.2,0.6){H}
\uput[dl](0.9,2.3){J} \uput[dr](1.5,2.3){I}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On note : AD = AF $= 5x$.
		
Prouver que l'aire $a$ de la partie hachurée est :

\[(5x- 1)^2 - 4.\]

		\item Développer $(5x - 1)^2 - 4$.
		\item Calculer $a$ pour $x = 2$.
		\item Calculer $a$ pour $x = \sqrt 2$.
		
On donnera la valeur exacte de $a$ sous la forme $m\sqrt 2 + n$,
(où $m$ et $n$ sont des entiers à déterminer).
	\end{enumerate}
\item Pour ses statistiques, Monsieur Dupont a réparti tous les
employés de son entreprise en 4 classes d'âge, comme l'indique le diagramme ci-dessous.

\begin{center}

\end{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(5,50)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(5,50)
\psframe(0.5,0)(1.5,15.8) \psframe(1.5,0)(2.5,34.4)
\psframe(2.5,0)(3.5,31) \psframe[linestyle=dashed](3.5,0)(4.5,18)
\uput[u](1,15.8){15,8}\uput[u](2,34.4){34,4}\uput[u](3,31){31}\uput[u](4,18){?}
\uput[d](1,0){\scriptsize moins de 30 ans}\uput[d](2,0){\scriptsize de 30 à 40 ans}
\uput[d](3,0){\scriptsize de 40 à 50 ans}
\uput[d](4,0){\scriptsize plus de 50 ans}
\uput[r](0,48){Pourcentages}
\end{pspicture}

	\begin{enumerate}
		\item Quel pourcentage du nombre des employés représente la classe : \og plus de 50 ans\fg{} ?
		\item L'effectif de la classe : \og de 40 à 50 ans\fg{} est $248$.
		
Combien y a-t-il d'employés dans l'entreprise de Monsieur Dupont ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{I.}- L'unité de longueur est le centimètre.

On donne AB $= 3,6$ ; AC $= 4,8$ ; BC $= 6$ ; BM $= 2,4$.

On sait que l'angle $\widehat{\text{BMN}}$ est un angle droit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est un angle droit.
\item Calculer MN.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3)
\pspolygon(0.5,0.7)(4.3,0.2)(2.1,2.4)%BCA
\psline(1.54,1.8)(3,0.35)%MN
\rput{-132}(1.54,1.8){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[u](2.1,2.4){A} \uput[l](0.5,0.7){B} \uput[dr](4.3,0.2){C} \uput[ul](1.54,1.8){M} \uput[d](3,0.35){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{II.} - L'unité de longueur est le mètre.

Sur la figure ci-après, le cercle passant par A, B et C est centré en O.

Cette figure schématise une piste de roller-skates.

La piste est représentée par l'arc de cercle $\wideparen{\text{AC}}$ (contenant B) et le segment [CD].

On donne OB $= 3$ ; BI $= 2,5$ ; CD $= 6,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'arrondi de $a$, au degré près, est $40$.
On considérera que a = 40°, dans la suite de l'exercice. 
\item Calculer la longueur de l'arc $\wideparen{\text{AC}}$ (contenant B).

On utilisera la proportionnalité entre la longueur d'un arc de cercle et l'angle au centre correspondant. 

On donnera la valeur arrondie, au décimètre près.
\item En déduire la longueur de la piste.

On donnera la valeur arrondie, au décimètre près.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-2.2)(5,2)
\pscircle(0,0){2}
\psline(-3.4,0)(0,0)(0,-2)(1.6,-2)(0,0)%AOBIO
\psarc[linewidth=1.5pt](0,0){2}{180}{310}
\psarc(0,0){0.3}{270}{310}\rput(0.2,-0.6){$\alpha$}
\psline[linewidth=1.5pt](1.26,-1.56)(4.4,1.2)
\psline(4.4,1.2)(5,1.2)
\psframe(0,0)(-0.2,-0.2)
\uput[ul](-2,0){A} \uput[u](0,0){O} \uput[d](0,-2){B} \uput[r](1.6,-2){I} \uput[u](4.4,1.2){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

En prévision d'une vente au profit d'un voyage, les classes de 3\up{e} 1 et 3\up{e} 2 ont construit des cornets coniques.

On donne les mesures en cm : AO $= 6$,\:SO $= 8$ et SO$' = 7,2$.

Ces dimensions ne sont pas respectées sur le dessin ci-dessous.

$C$ est le cône de hauteur [SO]. $C'$ est le cône de hauteur [SO$'$].

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cône $C$. On donnera la valeur arrondie au cm$^3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}$.
		\item En déduire le volume du cône $C'$. On donnera la valeur
arrondie au cm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

Dans la suite, le volume de $C'$ est arrondi à $220$ cm$^3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les élèves de 3\up{e} 1 remplissent les cônes $C'$ de mousse
de fruit achetée $50$~F le litre.
	\begin{enumerate}
		\item Quel bénéfice (en F) réalisent-ils sur chaque cornet en le
vendant $20$~F ? (On rappelle que : 1 litre = 1 dm$^3$).
		\item Quel bénéfice (en F) réalisent-ils, pour une vente de $x$
cornets ?
	\end{enumerate}
\item Les élèves de 3\up{e} 2 garnissent les cornets avec des confiseries qu'ils ont préparées eux-mêmes. Ils n'ont, en tout, que $240$~F de frais (quel que soit le nombre de cornets vendus). Ils vendent chaque cornet $15$~F{}.

Quel est le bénéfice (en F) réalisé par les élèves de 3\up{e} 2, pour une vente de $x$ cornets .
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.9,-4)(1.9,0.5)
\psellipse(0,0)(1.6,0.45)
\psellipticarc(0,-0.7)(1.3,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-0.7)(1.3,0.35){0}{180}
\psline(-1.6,0)(0,-3.6)(1.6,0)%AS?
\psframe(0,0)(-0.2,-0.2)\psframe(0,-0.7)(-0.2,-0.9)
\psline[linestyle=dashed](-1.6,0)(1.6,0)
\psline[linestyle=dashed](-1.3,-0.7)(1.3,-0.7)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-3.6)
\uput[l](-1.6,0){A} \uput[l](-1.3,-0.7){A$'$} \uput[u](0,0){O} \uput[dr](0,-0.7){O$'$} \uput[d](0,-3.6){S}
\end{pspicture}
\end{center}


\bigskip

\textbf{Partie III.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la droite $D_1$ d'équation $y = 9x$ et la droite $D_2$ d'équation $y = 15x - 240$, dans un repère orthogonal.

Sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 10 unités. 

Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente $100$ unités.
\item Déterminer, en utilisant le graphique, la classe qui doit vendre
le plus de cornets pour réaliser un bénéfice de $630$ F.
\item Est-il possible qu'en vendant le même nombre de cornets, les deux classes réalisent le même bénéfice ? 

On répondra à cette question en utilisant le graphique et on confirmera la réponse par le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}