\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Grenoble juin 1995},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et mettre sous forme de fraction irréductible, en précisant les calculs intermédiaires :

\[A = \dfrac25 - 1,21,2 \quad;\quad B = \dfrac35 : 7 \quad ; \quad C = 2 - 3 \times \dfrac{4}{21}\]

\item Écrire $D$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres
entiers :

\[D = 5 \sqrt{12} - \sqrt 3 + \sqrt{27}\]


\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4,5 points}

\medskip

Voici un programme de calculs :

1. Soit $x$ un nombre de départ ;

2. prendre son triple et ajouter 2 ;

3. prendre le carré du résultat obtenu et ôter 9 ; 

4. soit E le nombre obtenu.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer ce programme pour x = 1. Quel est le nombre obtenu ? 
\item Soit $E = (3x + 2)^2 - 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre l'équation : $(3x - 1)(3x + 5) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :

\[ \left\{\begin{array}{l c l}
x + 3 y &=& 30,50\\
2x + y &=& 21
\end{array}\right.\]

\item  À la pâtisserie, Paul a acheté 1 éclair et 3 millefeuilles et a payé 30,50 ~F{}. 

Pierre qui a acheté 2éclairs et 1 millefeuille a payé 21~F{}.

Pour fêter son anniversaire, Jeanne achète dans cette pâtisserie 8 éclairs et 10 millefeuilles.

Combien va-t-elle dépenser ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Le triangle ABC est un triangle rectangle en B tel que :

\[\widehat{\text{BCA}} = 60 \degres \text{ et BC }  = 3 \text{cm}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur sur votre feuille.
\item Calculer la longueur AB à $1$ mm près.
\item Placer le point D tel que : AD = BC.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3,5 points}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. Les droites (AB)et (CD) sont parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
\psline(0,0.4)(10,0.4)\psline(0,2.9)(10,2.9)\psline(9.1,3.05)(9.1,2.95)
\psline(0.1,0)(4.2,3) \psline(1.2,3)(5.6,0)
\uput[u](4.2,3){A}\uput[ur](1.2,3){B} \uput[u](9.1,3){E}\uput[d](0.6,0.4){C} \uput[dl](5,0.4){D}\uput[u](2.6,3){10}\uput[u](6.65,3){12}
\uput[dl](2,2.4){2,5} \uput[u](2.77,1.95){I} \uput[ul](1.8,1.2){9}\uput[ur](3.6,1.2){3}
\end{pspicture}
\end{center}

Les dimensions de la figure sont les suivantes :

\[\text{IB} = 2,5 \quad; \quad \text{AB} = 10  \quad; \quad \text{ID} = 3  \quad;  \quad\text{AE} = 12  \quad; \quad \text{IC} = 9\]

\begin{enumerate}
\item Calculer IA et CD.
\item Les droites (AI) et (DE) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se place dans le repère orthogonal (O, I, J) et on prend le centimètre pour unité de longueur. 

On a tracé quatre droites $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ (voir la représentation graphique ci-dessous).
Retrouver parmi les équations suivantes, l'équation de chacune de ces droites :


\[\begin{array}{l c l c l}
y = 2x & ; &y = - x - 2 &;&y = - 3 \\
y = 2x + 4 &;& y = - \dfrac12 x - 2 &;& y = x + 4.\
\end{array}\]

 On répondra sous la forme :
\og L'équation de $d_1$ est $y = \dots \dots $\fg, etc.

\item Prouver que les droites $d_1$ et $d_4$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4.5,-4)(5.5,5.5)
\psgrid[gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,subgriddiv=2]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{2 x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{0.5 x mul 2 add neg}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{2 x mul 4 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{3 neg}
\uput[ul](0,0){O} \uput[l](0,4){A} \uput[dl](0,-2){B} \uput[l](-2.4,-0.85){C} 
\uput[d](0.5,4.75){$d_1$} \uput[d](2,3.5){$d_2$} \uput[u](5,-3){$d_3$} \uput[u](3.5,-3.75){$d_4$}
\uput[d](5.25,0){$x$} \uput[l](0,5.25){$y$}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie I}
\end{center}

La figure ci-dessous représente un solide.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6.4)
\psframe(0.5,0.7)(5.3,2.1)%ABGF
\psline(5.3,0.7)(7.2,2.3)(7.2,3.7)(5.3,2.1)%BCHG
\psline(7.2,3.7)(4,5.9)(5.3,2.1)%HSG
\psline(4,5.9)(6.25,2.9)%SI
\psline(4,5.9)(0.5,2.1)%SF
\psframe[linestyle=dashed](2.4,2.3)(7.2,3.7)%DCHE
\psline[linestyle=dashed](4,5.9)(2.4,3.7)%SE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.7)(2.4,2.3)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.5,2.1)(2.4,3.7)%FE
\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(0.2,0.7)(0.2,2.1)\uput[l](0.2,1.4){2}
\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(0.5,0.5)(5.3,0.5)\uput[d](2.9,0.5){6}
\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(5.4,0.6)(7.3,2.2)\uput[dr](6.35,1.4){6}
\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(4.1,6)(7.3,3.8)\uput[ur](5.7,4.9){5}
\uput[dl](0.5,0.7){A} \uput[dr](5.3,0.7){B} \uput[r](7.2,2.3){C}
\uput[ul](2.4,2.3){D} \uput[ul](2.4,3.7){E} \uput[ul](0.5,2.1){F}
\uput[dr](5.3,2.1){G} \uput[ur](7.2,3.7){H} \uput[u](4,5.9){S}\uput[dr](6.22,2.9){I}
\psline(6.4,3)(6.28,3.19)(6.1,3.05)
\end{pspicture}
\end{center}

Celui-ci se compose d'un parallélépipède rectangle surmonté d'une pyramide régulière à base carrée de sommet S et dont les faces latérales sont des triangles isocèles.

Les dimensions de la figure sont les suivantes : 
AF = 2 cm ; AB = BC = 6 cm ; SH = 5 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.
		\item En déduire l'aire du triangle SGH.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm$^2$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie II}
\end{center}

La figure précédente est la réduction à l'échelle $\dfrac14$ d'un coffret qu'un
artisan désire réaliser. 

Il se propose de le couvrir intérieurement de feuilles d'or très fines, de calculer la masse d'or nécessaire ainsi que le prix de l'or à acheter.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire réelle extérieure du coffret.
\item Sachant que pour couvrir une surface de 1~cm$^2$, il faut \np{0,00195} g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près. 
\item Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes.

L'artisan prévoit d'acheter 25\,\% d'or supplémentaire.

Le prix du kilogramme d'or est de \np{70000}~F{}.

Calculer le prix de tout l'or à acheter.
\end{enumerate}
\end{document}