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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : $A = \left(\sqrt 2 - \sqrt 5\right)^2$ et $ B= \sqrt{250} -  \sqrt{490} + 2 \sqrt{81}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ et $B$ sous la forme, $a + b \sqrt c$, $a$, $b$ et $c$ étant des entiers relatifs.
\item En déduire que $A - B$ est un nombre entier relatif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression : $E = (5x + 1) - (7x + 2)(5x + 1)$.

 \medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(5 x + 1)(- 2 x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Quatre enfants se partagent une tablette de chocolat.

Le premier prend le tiers de la tablette et le second le quart.

Le troisième prend les $\dfrac25$ de ce qui reste après que le premier et le
second se soient servis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lequel de ces calculs permet de trouver la part du troisième ?

\[\begin{array}{l l}
A = \dfrac13 - \dfrac14 \times  \dfrac25&B = \left(1 - \dfrac13 - \dfrac14  \right)\times \dfrac25\\
C =\left(1 - \dfrac13 - \dfrac14  \right) \div \dfrac25&D = 1 - \left(\dfrac13 + \dfrac14  \right)\times \dfrac25\\
\end{array}\]

\item Effectuer le calcul choisi.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici le nombre de skieurs fréquentant une station de ski pendant une semaine d'hiver :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Lundi&Mardi&Mercredi&Jeudi&Vendredi&Samedi&Dimanche\\ \hline
\np{5760}&\np{3700}&\np{1750}&\np{3400}&\np{6900}&\np{8200}&\np{11800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre moyen de skieurs par jour ?
\item Quel est le pourcentage de fréquentation le dimanche ? (Résultat arrondi au centième.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal, le point A a pour coordonnées $(-2~;~3)$ et le point B a pour coordonnées $(4~;~- 5)$.

À partir des coordonnées des points A et B on propose les calculs suivants :

\begin{center}\textbf{a.}\quad  $\left(\dfrac{- 2 + 4}{2}~;~\dfrac{3 - 5}{2} \right)$ \quad \textbf{b.}\quad $(4 + 2~;~- 5 -3)$\quad \textbf{c.}\quad  $\sqrt{(4+2)^2 + (- 5 - 3)^2}$\end{center}


Dans chaque cas, quelle est la notion géométrique ainsi mise en évidence ?
(La figure n'est pas demandée.)


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un cercle $C$ de centre O et de rayon 4 cm. Tracer [AB], un
diamètre de $C$.

Placer un point E sur le cercle $C$ tel que : $\widehat{\text{BAE}} = 40\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABE est rectangle.

Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre.
\item Placer le point D symétrique de B par rapport à E. 

Démontrer que les droites (AD) et (OE) sont parallèles.
\item Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La vue de face d'un hangar est représentée par le schéma ci-contre. BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A, H est la projection orthogonale de A sur la droite (CD).

Les points A, E, F sont alignés ainsi que C, D, F.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(5.,0.2)(1.5,3.7)(0.2,2)%CFAB
\psline(0.2,2)(3.2,2)(3.2,0.2)%BED
\psline[linestyle=dashed](1.5,3.7)(1.5,0.2)
\uput[u](1.5,3.7){A} \uput[l](0.2,2){B} \uput[dl](0.2,0.2){C} \uput[d](3.2,0.2){D}
\uput[ur](3.2,2){E} \uput[dr](5.,0.2){F} \uput[d](1.4,0.2){H} 
\psframe(1.5,0.2)(1.7,0.4)
\psframe(3.2,0.2)(3,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

On donne (l'unité étant le mètre) : AB = BC = 6 ; EB = 10. 

\begin{enumerate}
\item Calculer AE.
\item Sachant que AF = 18, calculer la hauteur AH du hangar.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La figure 1 est le schéma d'un réservoir à eau. Il est composé d'une pyramide régulière à base carrée IJKL, de sommet S, surmontée d'un pavé droit.

[SA] est la hauteur de la pyramide, [SB] est la hauteur du réservoir et [SH] la hauteur de l'eau.

Le réservoir se vide par une vanne située en S.

Les mesures sont exprimées en mètres et les volumes en mètres cubes. On donne : 

SA = 5,\quad IJ = 6,\quad SB = 13.

La courbe ci-après représente le volume de l'eau en fonction de sa hauteur SH. On ne demande pas de figure.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-2.8,-9)(3.4,1.2)
%\psgrid
\pspolygon(-2.6,-0.7)(1.4,-0.7)(2.6,0.7)(-1.4,0.7)%haut
\psline(-2.6,-0.7)(-2.6,-6)(1.4,-6)(1.4,-0.7)
\psline(1.4,-6)(2.6,-4.4)(2.6,0.7)%JK?
\psline[linestyle=dashed](-2.6,-6)(-1.4,-4.4)(2.6,-4.4)%ILK
\psline[linestyle=dashed](-1.4,0.7)(-1.4,-4.4)
\psline[linestyle=dashed](0,-8.6)(-1.4,-4.4)
\psline[linestyle=dashed](0,-8.6)
\psline[linestyle=dashed](0,-5.2)(2.4,-5.2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-1.6)(2.9,-1.6)
\psline[linestyle=dashed](0,-8.6)(3.5,-8.6)
\psline(-2.6,-6)(0,-8.6)(1.4,-6)(2.6,-4.4)%ISJ
\psline(0,-8.6)(2.6,-4.4)%SK
\uput[l](-2.6,-6){I}\uput[ul](2.6,-4.4){K}\uput[dr](0,-5.2){A}\uput[d](0,-8.6){S}
\uput[ur](0,-1.6){H}\uput[ur](0,0){B}\uput[ur](-1.4,-4.4){L}\uput[ul](1.4,-6){J}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.4,-5.2)(2.4,-8.6)\uput[l](2.4,-6.9){5}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.9,-1.6)(2.9,-8.6)\uput[l](2.9,-5.1){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.5,0)(3.5,-8.6)\uput[l](3.6,-4.3){13}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-1.4,0.8)(2.6,0.8)\uput[u](0.6,0.8){6}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-1.6,0.7)(-2.8,-0.7)\uput[ul](-2.2,0){6}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume total du réservoir est 348 m .
		\item Lorsque le réservoir est plein, il faut 10 heures pour le vider (on suppose la vitesse constante).
		
Quelle est en m$^3$/h la vitesse d'écoulement de l'eau ?

En déduire qu'elle est égale à 580 l/min.
	\end{enumerate}
\item On pose : SH $= x$. Soit $V(x)$ le volume d'eau correspondant. Lire sur le graphique, en faisant apparaître les tracés :

$\bullet~~$les volumes suivants : $V(5 )$, $V(10)$, $V(2,5)$ ;

$\bullet~~$la hauteur de l'eau quand $V = 247,5$ m$^3$.
\item Dans cette question, la hauteur de l'eau est $2,5$~m.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-3,-4.3)(3.2,1)
%\psgrid
\pspolygon(-2.6,-0.7)(1.4,-0.7)(2.6,0.7)(-1.4,0.7)%IJKL
\psline[linestyle=dashed](3,0)(0,0)(0,-3.4)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3,0)(3,-3.4)\uput[r](3,-1.7){5}
\psline(2.6,0.7)(0,-3.4)(1.4,-0.7)%KSJ
\psline(0,-3.4)(-2.6,-0.7)%SI
\psline[linestyle=dashed](0,-3.4)(-1.4,0.7)%SL
\psline(-1.4,0.7)(-0.92,-0.7)
\psline[linestyle=dashed](0,-3.4)(3,-3.4)
\psline[linestyle=dashed](0,-1.6)(2,-1.6)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2,-1.6)(2,-3.4)\uput[r](2,-2.5){2,5}
\uput[dr](0,0){A} \uput[dr](0,-1.6){A$'$} \uput[dl](-2.6,-0.7){I} \uput[ul](1.4,-0.7){J}
\uput[ur](2.6,0.7){K} \uput[ul](-1.4,0.7){L} \uput[d](0,-3.4){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

$\bullet~~$Retrouver par le calcul le volume d'eau correspondant.

$\bullet~~$Calculer le temps nécessaire pour vider le réservoir (arrondir à la minute).
\item Lorsque $x$ est supérieur à 5, la courbe représentant le volume en fonction de la hauteur $x$ est le segment [MN]. Déterminer une équation de la droite (MN). Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=5mm,yunit=0.5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-2,-10)(19,360)
\multido{\n=0+1}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+10}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=60]{->}(0,0)(0,0)(19,360)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5}{x dup mul 2.4 mul}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](5,60)(13,348)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(13,0)(13,348)(0,348)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(5,0)(5,60)(0,60)
\uput[l](0,348){348}\uput[d](13,0){13}
\uput[d](5,0){5}\uput[r](5,60){M}\uput[r](13,348){N}
\uput[u](17,0){hauteur en m}\uput[r](0,355){Volume en m$^3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}