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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Grenoble}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Grenoble juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner le résultat sous la forme d'un entier relatif ou d'une fraction irréductible :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{X X}
$A = \left(2 + 3\sqrt{5}\right)\left(2 - 3\sqrt{5}\right)$&  $B = \dfrac{3\sqrt{45}}{6\sqrt{20}}$\\
$C =  \dfrac58 - \dfrac38 \times \dfrac16$&$D = \dfrac{2 \times 10^{-3} \times 5}{10^{-5}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Soit $E = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + 2\sqrt{27}$.

Écrire le nombre $E$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres
entiers.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = 4x^2 - 12x + 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $E$ pour $x = - \dfrac43$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $E$.
		\item En utilisant le résultat de la question précédente, résoudre l'équation $E = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au Café de la Place, Pierre et ses amis ont commandé trois cafés et deux chocolats pour la somme de 42 F{}.

Paul et ses camarades ont payé, eux, 56 F pour deux cafés et quatre chocolats.

En écrivant, puis en résolvant un système de deux équations à deux inconnues, trouver le prix d'un café et le prix d'un chocolat.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre ; l’unité d’aire est le centimètre carré.

On considère la figure ci-contre :

$\bullet~~$le triangle ABC est rectangle en A ;

$\bullet~~$AB $= 3,6$ ;

$\bullet~~$BC $= 6$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4,3)
%\psgrid
\rput{15}(1,0.2){\pspolygon(0,0)(3,0)(0,2)\psframe(0.2,0.2)}%ACB
\uput[dl](1,0.2){A} \uput[r](3.9,1){C}\uput[u](0.5,2.1){B}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ (on donnera l'arrondi au degré).
\item Calculer AC.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\item Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). 

Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de AH.
\item En déduire AH.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une personne observe une éclipse de soleil. Cette situation est schématisée par le dessin ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,1.8)
%\psgrid
%\psarc(2.9,0.2){2.7}{0}{180}
%\psarc(4.8,0.2){0.8}{0}{180}
\psline(0.2,0.2)(0.72,1.8)(5.6,0.2)
\rput{-107}(0.72,1.8){\psframe(0.2,0.2)}
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(5.6,0.2)
\psline(4,0.2)(4.16,0.68)
\rput{-107}(4.16,0.68){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[l](0.2,0.2){S} \uput[u](0.72,1.8){O} \uput[d](4,0.2){L} \uput[ur](4.16,0.68){U} \uput[r](5.6,0.2){T}
\end{pspicture}
\end{center}

L’observateur est en T. Les points S (centre du Soleil), L (centre de la Lune) et T sont alignés.

Le rayon SO du Soleil mesure \np{695000} km.

Le rayon LU de la Lune mesure \np{1736} km.

La distance TS est $150$ millions de km.

Calculer la distance TL (on donnera l'arrondi au km).

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\bigskip


\textbf{Première partie}

\medskip

Un agriculteur cultive du blé, puis fabrique lui-même sa farine. Il décide, pour améliorer ses revenus, de faire une fois par semaine, dans son village, du pain artisanal qu'il vend $23$ F le kilogramme. 

Chaque mois, ses dépenses sont constituées par \np{2600}~F de frais fixes, auxquels il faut ajouter $3$~F par kilogramme de pain fabriqué.

\medskip

\textbf{A.} Au mois de juin, il vend $200$ kg de pain.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est sa recette ?
		\item Quelle est sa dépense ?
	\end{enumerate}
\item Fait-il un bénéfice ? Si oui, de quel montant ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} On appelle $x$ la masse de pain en kilogrammes vendue en un mois. 

On note $r(x)$ le montant des recettes de l'agriculteur et $d(x)$ celui de ses dépenses au cours de ce mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $r(x)$ et $d(x)$ en fonction de $x$.
\item Résoudre l'inéquation $r(x) > d(x)$.

Comment l'agriculteur peut-il interpréter le résultat obtenu ?
\item Calculer la masse de pain que l'agriculteur doit vendre en un
mois pour faire un bénéfice de \np{2000}~F.
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.

Les unités sont :

$\bullet~~$en abscisse : 1 cm pour $20$ kg; 

$\bullet~~$en ordonnée : 1 cm pour $400$ F.


	\begin{enumerate}
		\item On note $D_1$ la droite d'équation $y = 23x$ et $D_2$ la droite
d'équation $y = 3x + \np{2600}$.

Construire les droites $D_1$ et $D_2$.
		\item Retrouver graphiquement les résultats de la question B.  2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Notre apprenti boulanger fait son pain \og à la main\fg{} dans un pétrin à l'ancienne. Il s'agit d'une table \og creuse sur le dessus \fg{} qui a la forme d'un tronc de pyramide à base rectangulaire dont les dimensions intérieures sont : 

\begin{center}OK $= 0,40$ m ;\quad  AB $= 0,90$ m ;\quad BC $= 1,50$ m.
\end{center}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
La figure ci-contre représente le pétrin (les pieds de la table et l'épaisseur du bois, qui ne sont pas représentés sur le dessin, n'interviennent pas dans l'exercice).

Par ailleurs, on donne OS $= 2$ m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $V_1$ de la \og grande \fg{} pyramide SABCD.
\item La \og petite \fg{} pyramide SEFGH est une réduction de la \og grande \fg{} pyramide SABCD.
On admet que le coefficient de réduction est $0,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume $V_2$ de la \og petite\fg{} pyramide SEFGH.
		\item En déduire le volume $V_3$ du pétrin.
	\end{enumerate}
\item Le remplissage maximum du pétrin est 85\,\% de son volume. 

Quelle quantité maximum de pâte peut-on faire en une fois ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5.4,-11)(5.4,1.5)
%\psgrid
\pspolygon(-4.8,-1)(1.4,-1)(4.8,1.)(-1.4,1.)%ADCB
\psline[linestyle=dashed](-3.5,-3.2)(0,-9.3)(-1.4,1.)%ESB
\psline[linestyle=dashed](1,-3.2)(0,-9.3)(3.5,-1.8)%HSG
\psline(-3.5,-3.2)(1,-3.2)(3.5,-1.8)%EHG
\psline(-4.8,-1)(-3.5,-3.2)
\psline(1.4,-1)(1,-3.2)
\psline(4.8,1)(3.5,-1.8)
\psline[linestyle=dashed](-3.5,-3.2)(-1,-1.8)(3.5,-1.8)%EFG
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-2.5)%OS
\uput[l](-4.8,-1){A} \uput[ul](-1.4,1){B} \uput[ur](4.8,1){C} \uput[dr](1.4,-1){D}
\uput[dl](-3.5,-3.2){E} \uput[l](-1,-1.7){F} \uput[r](3.5,-1.8){G} \uput[dr](1,-3.2){H}
\uput[u](0,0){O} \uput[r](0,-2.5){K} \uput[d](0,-9.3){S}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0)(0,-2.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}













\end{document}