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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1998}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le nombre $A= \sqrt{500} - 2\sqrt 5 + 3\sqrt{20}$.

Montrer que $A$ peut se mettre sous la forme $a \sqrt5$ , où $a$ est un nombre
entier.
\item Développer et réduire $B = \left(5+ \sqrt2\right)^2$.
\item Calculer $C$ et $D$ et donner chaque résultat sous la forme la plus simple
possible :

\[C = \dfrac14 + \dfrac32 \times \dfrac5{12}\quad \text{et}\quad D = \dfrac{\left(\dfrac87 - 2 \right)}{\dfrac9{14}}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $A = (2x +3)^2 - (2x +3)(x -7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A$.
\item Développer $A$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 3)(x + 10) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :
$\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{70}x + \phantom{70}y 	&=& 200\\
70x + 40y 						&=&\np{10400}
\end{array}\right.$
\item Un théâtre propose deux catégorie de places : les unes à $410$ F{}, les autres à $70$ F{}. 

On sait que $200$ spectateurs ont assisté à une représentation et que la recette totale pour cette représentation s'est élevée à \np{10400} F{}.

Calculer le nombre de places vendues pour chaque catégorie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8.5,2)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.3)(6.3,0.3)(3.6,1.8)%AEC
\psline(4.1,0.3)(2.42,1.26)%DB
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[ul](2.42,1.26){B} \uput[u](3.6,1.8){C} \uput[d](4.1,0.3){D} \uput[dr](6.3,0.3){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

Sur cette figure, l'unité est le centimètre. On donne les longueurs suivantes :

\[\text{AB} = 5\, ; \quad \text{BC} = 3 \,; \quad \text{AE} = 16,8 \,; \quad \text{DE} = 6,3.\]

Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallèles ? 

Justifier la réponse.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). L’unité est le centimètre

On considère les points : A(4~;~4), \, B(7~;~5),\, C(8~;~2).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C sur une figure.
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC (on donnera les valeurs exactes).
\item Démontrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle.
\item Placer, sur la figure, le point D tel que $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{DC}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}La figure ci-contre représente un cône de hauteur SO $= 20$ cm et de base le cercle de rayon OA $= 15$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.26\linewidth}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.4)(1.6,2.5)
\psellipticarc(0,0)(1.5,0.225){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.5,0.225){0}{180}
\psline(0,2)\psline[linestyle=dashed](1.5,0)
\psline(-1.5,0)(0,2)(1.5,0)%?SA
\uput[u](0,2){S} \uput[l](0,0){O} \uput[r](1.6,0){A}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en cm$^3$, le volume de ce cône ; on donnera la valeur exacte
sous la forme $k \pi \,(k$ étant un nombre entier).
\item Montrer que SA $= 25$ cm.
\item L’aire latérale de ce cône est donnée par la formule $\pi \times  R \times \text{SA}$
($R$ désignant le rayon de la base). 

Calculer, en cm$^2$, cette aire ; on donnera la valeur exacte sous la forme $n \pi$ puis une valeur arrondie à $10^{-1}$ près. ($n$ étant un nombre entier),
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Les trois parties sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

La famille Y, en vacances au bord de la mer, veut s'offrir une excursion en bateau, à l'île I.

La distance IH entre l'île et la côte supposée rectiligne est \np{6000}~m.

La distance de l'embarcadère E (lieu de départ du bateau) à H est \np{3200}~m.


\begin{minipage}{0.62\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{EIH}}$ (on donnera une valeur arrondie au degré
près).
\item Calculer la longueur EI en kilomètres du trajet effectué par le bateau.
\item La vitesse moyenne du bateau est de 24 km/h. Calculer la durée du trajet en minutes.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.4,0.3)(4.4,2.5)%IHE
\psframe(4.4,0.3)(4.2,0.5)
\uput[l](0.3,0.3){I} \uput[dr](4.4,0.3){H} \uput[ur](4.3,2.5){E}
\uput[d](2.35,0.3){\np{6000} m}\rput{-90}(4.7,1.4){\np{3000} m}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Voici le relevé du nombre de personnes (effectif ayant emprunté le bateau pendant toute la journée du 14 juillet 1997. Ce bateau a une contenance maximum de $120$ personnes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure de départ					&10 h	&12 h	&14 h	&16 h	&18 h\\ \hline
Effectif						&58		& 60	& 120	&76		&92\\ \hline
Taux de remplissage du bateau	(en \,\%)&		&		&		&		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on donnera chaque résultat arrondi à 0,1 près.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux de remplissage du bateau pour le départ de $10$ h.
		\item Recopier et compléter, sans justification, le tableau ci-dessus.
	\end{enumerate}
\item Calculer la moyenne des effectifs.
\item Représenter les effectifs par un diagramme en bâtons.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On appelle $x$ le prix (en francs) d'un billet aller--retour pour un adulte. 

Les enfants de moins de 12 ans bénéficient d'une réduction de 40\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le prix payé par un enfant de moins de 12 ans s’écrit $0,6x$.
\item La famille Y est composée de 2 adultes et de 3 enfants âgés de 8, 10 et17 ans.

Calculer, en fonction de $x$, le prix du trajet aller-retour pour cette famille.
\item Cette famille dispose de $630$ francs au maximum pour cette excursion. 

Quelle est la valeur maximum du prix $x$ pour qu'elle puisse s’offrir l'excursion ?


\end{enumerate}
\end{document}