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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Grenoble juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\emph{Pour chaque question, on indiquera les différentes étapes du calcul}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres


\[A = \dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{5}}{2 + \dfrac{1}{6}}\qquad 
B = 4 \sqrt{3} - 2 \qquad  C = 2\sqrt{27} + 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction aussi simplifiée que possible.
\item Calculer $B + C$, puis $B^2$ (on donnera chaque résultat sous la forme
$a + b\sqrt{3}$,où $a$ et $b$ sont des nombres entiers).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = (5x -2)^2 - 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = -2$.
\item Résoudre l'équation $(5x - 5)(5x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les employés d'une petite entreprise sont classés en quatre catégories A, B, C et D.

Pour chaque catégorie, le salaire mensuel en francs de chaque employé, ainsi que le nombre d'employés, est donné dans un tableau.

Voici le tableau pour les mois de janvier et de février :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Catégorie& A& B & C & D\\ \hline
Salaire mensuel en francs&\np{7000} &\np{9000} &\np{10000} &\np{12000}\\ \hline
Nombre d'employés en janvier&3	&4 &8 &5\\ \hline
Nombre d'employés en février&6& $x$ &$y$& 7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire mensuel moyen des employés de cette entreprise en janvier.
\item On sait qu’en février, il y a quatre fois plus d'employés dans la catégorie C que dans la catégorie B et que le montant total des salaires est de \np{273000}~F.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $y$ en fonction de $x$. 
		\item Calculer $x$ et $y$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle RST tel que : RS = 4,5 ;  ST = 6 ;  RT = 7,5

On laissera les traits de construction.
\item Montrer que le triangle RST est rectangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle (C) de centre R et de rayon 4,5. Le cercle (C) coupe le segment [RT] en K.
		\item Tracer la droite d passant par le point K et parallèle à la droite (RS).
cette droite d coupe le segment [TS] en un point L.
Placer ce point sur la figure.
		\item Calculer KL.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'angle S TR (on donnera l'arrondi au degré).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
On considère la figure ci-contre où ABCDEFGH est un cube de côté 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ACF est équilatéral.
\item On considère alors la pyramide CABF, de base le triangle ABF et de hauteur CB.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de cette pyramide.
		\item Dessiner un patron de cette pyramide ; on laissera les traits de construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(4.2,4.2)
\psframe(3,3)%ABFE
\psline(3,0)(3.9,1)(3.9,4)(3,3)%FGCB
\psline(3.9,4)(0.9,4)(0,3)(3,0)(3.9,4)(0,3)(0.9,4)%CDAFCAD
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.9,1)(3.9,1)%EHG
\psline[linestyle=dashed](0.9,1)(0.9,4)
\uput[ul](0,3){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[u](3.9,4){C} \uput[u](0.9,4){D}
\uput[dl](0,0){E} \uput[d](3,0){F} \uput[dr](3.9,1){G} \uput[dr](0.9,1){H}
\end{pspicture}
\end{minipage} 

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
La famille Martin possède le terrain ABCD et veut faire construire
sur ce terrain une maison BEFG comme indiqué sur la figure
ci-contre.

ABCD est un trapèze.

BEFG est un rectangle.

L'unité de longueur est le mètre.

On donne AB $= 15$; AD $= 20$; DC $ = 25$; AE $= 7$.

Montrer que l'aire du terrain est 400~m$^2$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.36\linewidth}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.5)(5,4)
\pspolygon(0,0)(4.7,0)(2.5,3.8)(0,3.8)%DCBA
\psframe(2.5,3.8)(1,2.3)%BEFG
\psline [linestyle=dashed](2.5,2.3)(2.5,0)%GH
\psframe(.25,.25) \psframe(2.5,0)(2.25,0.25) \psframe(0,3.8)(0.25,3.55) \psframe(1,3.8)(1.25,3.55) \psframe(1,2.3)(1.25,2.55) \psframe(2.5,3.8)(2.25,3.55) \psframe(2.5,2.3)(2.25,2.55)
\uput[ul](0,3.8){A} \uput[u](2.5,3.8){B} \uput[dr](4.7,0){C} \uput[d](0,0){D}
\uput[u](1,3.8){E} \uput[dl](1,2.3){F} \uput[dr](2.5,2.3){G} \uput[d](2.5,0){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

La réglementation municipale impose que les deux conditions
suivantes soient vérifiées :
\begin{description}
\item[Condition \no 1] : l'aire de la maison est supérieure ou égale à
60~m$^2$.
\item[Condition \no 2] : le nombre $K$ défini par $K = \dfrac{\mbox{aire
de la maison}}{\mbox{aire du terrain}}$ est tel que $K < 0,3$.
\end{description} 
\par{\em Les deuxième, troisième et quatrième parties du problème
peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Deuxième partie} 

\medskip

On donne à GH successivement les valeurs
3, 2 puis 10 puis 13.
\begin{enumerate}
\item Pour chacune de ces valeurs de GH, calculer l'aire $\cal M$ de
la maison et dire si la condition \no 1 est vérifiée.
\item Pour chacune de ces valeurs de GH, calculer le nombre $K$ et
dire si la condition \no 2 est vérifiée.
\item Pour laquelle de ces trois valeurs de GH la construction de la
maison est-elle autorisée ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Troisième partie} 

\medskip

Dans cette partie, on pose GH $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur BG en fonction de $x$.
\item Calculer l'aire de la maison en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal, on choisit les unités graphiques
suivantes : sur l'axe des abscisses, 1~cm représente 1~m; sur
l'axe des ordonnées, 1~cm représente 10~m$^2$.\par Tracer la
droite d'équation $y=160-8x$.
\item Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes (on
fera apparaître les constructions utiles) :
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'aire de la maison lorsque $x=5$ ?
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de la maison est-elle
100~m$^2$?
\item Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles on a
$160-8x\geqslant60$ ? (On rappelle que
$x\geqslant0$.)\label{grenoble3c}
\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les valeurs de $x$ pour
lesquelles\label{grenoble4}
$$\frac{180-4x}{400}\leqslant0,3$$
\item Déduire des questions 3c%\ref{grenoble3c}
 et 4%\ref{grenoble4}
, les
valeurs de $x$ pour lesquelles les conditions \no 1 et \no 2 sont
vérifiées.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Quatrième partie} 

\medskip

La maison de la famille Martin est construite sur une dalle en béton dont le volume est 18~m$^3$. Pour
faire ce béton, Monsieur Martin utilise une bétonnière qui malaxe
chaque fois $350$ litres. 

Combien de fois devra-t-il faire fonctionner
la bétonnière ?
\end{document}

%@Titre: Grenoble -- 1999
{\em L'unité est le centimètre.}
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle $RST$ tel que $RS=4,5$, $ST=6$,
$RT=7,5$. On laissera les traits de construction.
\item Montrer que le triangle $RST$ est rectangle.
\item
\begin{enumerate}
\item Tracer le cercle $(\cal C)$ de centre $R$ et de rayon 4,5. Le
cercle $(\cal C)$ coupe le segment $[RT]$ en $K$.
\item Tracer la droite $(d)$ passant par le point $K$ et parallèle à
la droite $(RS)$. Cette droite $(d)$ coupe le segment $[TS]$ en un
point $L$. Placer ce point sur la figure.
\item Calculer $KL$.
\end{enumerate}
\item Calculer l'angle $\widehat{STR}$ (on donnera l'arrondi au
degré).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%

%@metapost:grenoble1999.mp
%@Titre: Grenoble -- 1999

On considère la figure ci-contre où
$ABCDEFGH$ est un cube de côté 3~cm.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle $ACF$ est équilatéral.
\item On considère alors la pyramide $CABF$, de base le triangle $ABF$
et de hauteur $CB$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de cette pyramide.
		\item Dessiner un patron de cette pyramide; on laissera les traits de
construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

