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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges juin 2001}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Grenoble
  juin 2001~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : $\text{A} = \left(- 4 + 3 \times \dfrac{1}{4}\right) : \left( \dfrac{3}{14}\right)\quad ;\quad  \text{B} = \dfrac{4 - ( 2 - 5)^2}{4 + 5}$

Calculer les nombres A et B.

Écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
\item On donne : $\text{C} = 5 \sqrt{20} + \sqrt{45} \quad ;\quad  \text{D} = 5\sqrt{20} \times  \sqrt{45} \times \sqrt{5}$.

Calculer les nombres C et D en donnant les résultats sous la forme $a \sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ est le plus petit possible.
\item Calculer E$^2$ sachant que $\text{E} = 4 - \sqrt{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $F = (4x - 3 )^2 - (x + 3)(3 - 9 x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $(4 x - 3)^2$.
\item Montrer que $F = (5x)^2$.
\item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F = 125$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

En météorologie, on appelle insolation le nombre d'heures de soleil.

Voici des relevés de la station de météo de Voglans en Savoie donnant des informations sur l'insolation du mois de Juillet de ces dernières années.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années& 1990& 1991& 1992& 1993& 1994& 1995& 1996& 1997& 1998& 1999& 2000\\ \hline
Insolations (en h)&324& 325& 257& 234& 285& 261& 213& 226& 308& 259& 206\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne d'insolation sur cette période. (On donnera le résultat arrondi à l'heure prés).
\item Peut-on dire que la valeur $259$ est la médiane de cette série ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la figure ci-dessous.

ABCDEFGH est un cube de 5 cm de côté.

I est le milieu du segment [EH]. J est le milieu du segment [FG].

Tracer en vraie grandeur :

\begin{enumerate}
\item le triangle GJC.
\item le quadrilatère CDIJ.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,6.2)
\psframe(0.5,0.5)(4.9,4.9)%ABFE
\psline(4.9,0.5)(6.2,1.3)(6.2,5.7)(4.9,4.9)%BCGF
\psline(6.2,5.7)(1.8,5.7)(0.5,4.9)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.8,1.3)(1.8,5.7)%ADH
\psline[linestyle=dotted](1.8,1.3)(6.2,1.3)%DC
\psline(6.2,1.3)(5.55,5.3)(1.15,5.3)%CJI
\psline[linestyle=dotted](1.15,5.3)(1.8,1.3)%ID
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](4.9,0.5){B} \uput[r](6.2,1.3){C}
\uput[ur](1.8,1.3){D}\uput[l](0.5,4.9){E}\uput[r](4.9,4.9){F}
\uput[ur](6.2,5.7){G}\uput[ul](1.8,5.7){H}\uput[ul](1.15,5.3){I}\uput[dr](5.55,5.3){J}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le repère orthonormal (O, I, J ) ci-dessous, on considère les points suivants :

A(2~;~6) ; B$(- 4~;~2)$ ; C$(- 2~;~- 1)$ ; D(4~;~3)

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(5,7)
\pspolygon(2,6)(-4,2)(-2,-1)(4,3)
\uput[u](2,6){A} \uput[ul](-4,2){B} \uput[dl](-2,-1){C} \uput[dr](4,3){D}
\uput[u](1,0){I}\uput[dl](0,0){O}\uput[l](0,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs
$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$.

ABCD est-il un parallélogramme ? Justifier.
\item Calculer les distances AC et BD, en valeurs exactes.

Montrer que ABCD est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans cet exercice, toutes les longueurs données sont en centimètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer trois points M, B, F alignés dans cet ordre tels que MB = 9 et BF = 6.

Construire le cercle $C$ de diamètre [BF]. On note O son centre.

Sur ce cercle $C$, placer un point A tel que BA = 5.

Tracer la parallèle à (AF) passant par M ; elle coupe la droite (AB) en N.
\item Calculer BN.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABF ? Justifier la réponse.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BFA}}$ (on donnera la valeur arrondie au degré près).
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

Frédéric et Gilles ont acheté deux parcelles de terrain voisines, dessinées ci-dessous.

Sur cette figure, ABCD est un carré et CDE est un triangle rectangle.

Dans ce problème, il est inutile de refaire la figure.

L'unité de longueur est le mètre et l'unité d'aire est le mètre carré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,4.5)
\psframe(0.5,0.5)(4,4)%ADCB
\psline(4,0.5)(9.2,0.5)(4,4)%DEC
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[ul](0.5,4){B} \uput[u](4,4){C} \uput[d](4,0.5){D} \uput[dr](9.2,0.5){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Frédéric a payé 320 000 F la parcelle ABCD à raison de 200 F le mètre carré.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de la parcelle de Frédéric.
		\item En déduire la longueur du côté [ AB ] de son terrain.
	\end{enumerate}
\item Gilles a acheté la parcelle CDE à 250 F le mètre carré, car cette parcelle
est mieux exposée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de la parcelle de Gilles, sachant que DE = 50.
		\item En déduire le prix payé par Gilles pour l'achat de son terrain.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Gilles achète à Frédéric un morceau de terrain CDM où M est un point du segment [DA].

Pour la suite, on prend AB = 40, DE = 50 et on pose DM $= x$ avec $0 < x < 40$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire $A_{\text{CDM}}$ du triangle CDM en fonction de $x$.
		\item En déduire l'aire $F_{\text{ABCM}}$ du quadrilatère ABCM et l'aire $G_{\text{CME}}$ du triangle CME en fonction de $x$.
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle les aires $F$ et $G$ sont égales.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par 
	
\[f : x \longmapsto  - 20 x + 1 600\quad \text{et} \quad 
g : x \longmapsto 20 x + 1 000,\]
	
où $x$ est un nombre positif inférieur à $40$.

Représenter graphiquement, dans un même repère orthogonal, les deux fonctions $f$ et $g$. (on prendra, sur la feuille de papier millimétré, l'origine du repère à gauche et à environ 5~cm du bas ; on choisira 1~cm pour 2 unités en abscisses et 1 cm pour 100~unités en ordonnées ).
\item Comment peut-on retrouver le résultat de la question 1. c ) en utilisant les représentations graphiques de la question 2 ?
\item En utilisant uniquement le graphique, répondre aux questions suivantes et faire apparaître
les tracés ayant permis de répondre.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les aires des terrains de Frédéric et de Gilles si le point M est le milieu
du segment [DA] ?
		\item Quelle est la valeur de $x$ lorsque l'aire $F_{\text{ABCM}}$ du terrain de Frédéric est \np{1500} ?
		
Quelle est alors l'aire $G_{\text{CME}}$ du terrain de Gilles ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}