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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~B. É. P. C. Grenoble septembre 1953~\decofourright
}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle équilatéral ABC 

\begin{center}(AB = AC = BC $= 6$ cm).\end{center}

Par un point D du segment AB on trace la parallèle à BC.

Cette parallèle coupe AC en E. On pose BD $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ le périmètre $y$ du triangle
ADE et le périmètre $Y$ du trapèze BDEC.
\item Représenter sur le même graphique les variations
de $y$ et de $Y$.
\item Déterminer graphiquement et par le calcul la
valeur de $x$ pour laquelle $y = Y$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $y < Y$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O, de rayon $R$, on mène deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment de droite [CD] en P et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.

En conclure que le quadrilatère OBMP est inscriptible.

Préciser la position du centre I du cercle circonscrit à ce quadrilatère.
\item Démontrer que les triangles AOP et AMB sont semblables.

En déduire la valeur du produit AP  $\times$  AM en fonction de $R$.

\emph{Application} : Calculer les côtés des deux triangles précédents lorsque $R = 4$~cm et OP $= 3$~cm.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{enumerate}[start=3]
\item Le rayon $R$ restant égal à 4 cm, on suppose que le point P décrit le segment [CD] et l'on demande de déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item la plus grande valeur que peut
prendre la longueur du segment [AP] ;
		\item la position et la longueur du segment de droite décrit par le centre I du cercle circonscrit au quadrilatère OBMP.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.22\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-1.4)(1.4,1.4)
\pscircle(0,0){1.1}
\psline(1.1;70)(1.1;180)(1.1;0)%MAB
\psline(1.1;90)(1.1;270)%CD
\uput[l](1.1;180){\small A} \uput[r](1.1;0){\small B} \uput[u](1.1;90){\small C}\uput[dl](0,0){\small O}
\uput[d](1.1;270){\small D} \uput[ur](1.1;70){\small M} \uput[ul](0.65;90){\small P} 
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{document}