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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme $h$ définie dans $\R$ par : 
\[h(x) = 4x^2 - 9.\]
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser h(x)
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $h(x) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item Soit la fonction polynôme $k$ définie dans $\R$ par : 
\[k(x) = (4x + 3)(x + 2) + x + 3.\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $k(x)$ ; ensuite, en partant du résultat
obtenu, mettre $k(x)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $k(x) = 0$.
		\item $q$ est la fonction rationnelle qui, au réel $x$, associe, lorsqu'il existe, le réel
\[ q(x) = \dfrac{h(x)}{k(x)}.\]

Quel est son ensemble de définition $E$ ?

Pour $x$ appartenant à $E$, simplifier $q(x)$.
		\item d. Résoudre dans $E$ l'équation:
\[\dfrac{2x-3}{2x + 3} = - \dfrac12.\]
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère \Oij.

Construire les représentations graphiques $F$ et $G$ des applications affines $f$ et $g$ telles que :
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to&\R \\
&x&\longmapsto&2x+3
\end{array} \qquad 
\begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to&\R \\
&x&\longmapsto&- 4x + 6
\end{array}\]

Calculer les coordonnées du point d'intersection M de $F$ et $G$ ; établir un lien entre cette question et la question 2. d.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan (P) rapporté au repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B, C, suivants :
\begin{center}A$(3~;~-4)$\qquad B$(- 5~;~0)$ \qquad C(5~;~0) \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances:
\begin{center}$d$(A, B),\quad $d$(A, C),\quad  $d$(B, C) \end{center}

En déduire que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, du segment [AC] et les coordonnée du point D, symétrique de I par rapport à O.

Montrer que (A, B, D, I) est un carré.
\item Démontrer que les quatre points A, B, D et I sont éléments d'un cercle 
$\mathcal{C}$.

Quelles sont les coordonnées de son centre K ? Calculer son rayon $r$.
\item Montrer que la droite (CD) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}