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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Grenoble }
\lfoot{\small septembre 1993}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A$ l'expression $5x^2 - 2x - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur numérique de $A$ pour $x = 0$, puis pour $x = $.
\item Montrer que, pour $x = \sqrt 5 - 1$, la valeur numérique exacte de $A$ est $32 - 12\sqrt 5$.

En donner l'approximation décimale arrondie au centième.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

En 1992, $500$ personnes ont fréquenté régulièrement un centre culturel.

Dans le tableau suivant figurent quelques données statistique concernant ces $500$personnes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âges& Moins de 30 ans&30 ans et plus&Totaux\\ \hline
Effectifs&&&500\\ \hline
Pourcentage&55\,\%&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\emph{Les calculs effectués pour répondre aux questions suivantes seront clairement écrits sur la copie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire ce tableau et le compléter.
\item Le diagramme semi-circulaire ci-dessous représente la situation précédente, mais il comporte une erreur.

Reproduire ce diagramme et le corriger (prendre $6$ cm comme rayon du demi-cercle).
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,3)
\psarc(0,0){3}{0}{180}
\psline(3;30)
\psline(3;0)(3;180)
\rput(-0.4,1.5){Moins de}
\rput(-0.4,1.1){30 ans}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, l'unité de longueur est le mètre, et l'unité d'angle le degré}

\medskip

Un géomètre veut calculer la distance entre un emplacement G et la maison située en M, de l'autre côté de la rivière. 

Pour cela, il mesure la distance entre G et un point accessible A. 

On trouve AG $= 20$~m.

Il se place successivement en A et G, et mesure les angles $\widehat{\text{MAG}}$
et $\widehat{\text{AGM}}$.

Il trouve $\widehat{\text{MAG}} = 78\degres$ et $\widehat{\text{AGM}} =70\degres$.


\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item La droite (GH) est perpendiculaire à la droite (AM). 

Calculer l'approximation décimale arrondie au centième de la longueur GH.
\item Calculer les angles $\widehat{\text{AGH}}$ et $\widehat{\text{HGM}}$.
\item Utiliser les résultats précédents pour calculer l'approximation décimale arrondie au dixième de la longueur GM.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.4)(3.4,0.4)(1.5,5.6)%AGM
\uput[ul](0.2,0.4){A} \uput[ur](3.4,0.4){G} \uput[u](1.5,5.6){M}\uput[ul](0.4,1.2){H}
\pscurve(0,5)(1,4.4)(2,4)(3,3.8)(4,3.4) 
\pscurve(0,3)(1,2.4)(2,2)(3,1.8)(4,1.4) 
\rput{-30}(1.6,3.2){Rivière}
\rput{-12}(0.4,1.2){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(0.2,0.4){0.4}{0}{78}\psarc(3.4,0.4){0.6}{110}{180}\psarc(3.4,0.4){0.5}{110}{180}
\psline(0.4,1.2)(3.4,0.4)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.2)(3.4,0.2)\uput[d](1.8,0.2){20 m}
\rput(0.8,0.75){\small $78\degres$}\rput(2.7,0.9){\small $70\degres$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\textbf{Exercice 2}

\medskip






\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{Dans cette partie, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire le centimètre carré}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Un rectangle ABCD est tel que AB $= 5$ et AD $= 4$.

E est le point du segment [AB] tel que AE $= 1$.

M est un point du segment [BC] ; on pose BM $= x$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,4)
%\psgrid
\psframe(0.6,0.2)(4.6,3)%DCBA
\uput[ul](0.6,3){A} \uput[ur](4.6,3){B} \uput[dr](4.6,0.2){C} \uput[dl](0.6,0.2){D}
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.6,0.2)(4.6,1.2)(1.25,3)%DME
\uput[dr](4.6,1.2){M}\uput[u](1.25,3){E}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,0.2)(0.4,3)\uput[l](0.4,2.4){4}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,3.2)(1.25,3.2)\uput[u](0.925,3.2){1}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.25,3.2)(4.6,3.2)\uput[u](2.925,3.2){4}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.8,3)(4.8,1.2)\uput[r](4.8,2.1){$x$}
\rput(0.9,2.6){$\mathcal{A}_1$}\rput(3.4,2.6){$\mathcal{A}_2$}\rput(3.4,0.6){$\mathcal{A}_3$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle AED.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$,
\begin{itemize}
\item l'aire v du triangle EBM,
\item la longueur MC,
\item l'aire $\mathcal{A}_3$ du triangle DMC.
\end{itemize}
		\item Calculer la somme des trois aires $\mathcal{A}_1$, \:$\mathcal{A}_2$ et $\mathcal{A}_3$.
		
En déduire que l'aire, $\mathcal{A}$ de la partie hachurée est égale à $8+0,5x$. 
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de la partie hachurée est égale à la somme des trois aires $\mathcal{A}_1$, \:$\mathcal{A}_2$ et $\mathcal{A}_3$. 
		
Quelle est alors la position du point M ?
	\end{enumerate}
\item  Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

(Sur une feuille de papier millimétré, on choisira 1 cm pour représenter 1 unité sur chacun des deux axes.)
	\begin{enumerate}
		\item Tracer, dans ce repère, la droite $\left(d_1\right)$ d'équation $y = 8 + 0,5x$ et la droite $\left(d_2\right)$ d'équation $y = 12 - 0,5x$.
		\item Lire sur le graphique les coordonnées du point I, commun aux droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$. 
		
Que représente l'abscisse du point I, en relation avec la question 2. c. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}