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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 1996}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres $a$, $ b$, $c$ et $d$ suivants en précisant les calculs intermédiaires.

$b$ sera écrit sous forme de fraction irréductible, $c$ sera écrit en notation
scientifique et $d$ sera écrit sous la forme $x\sqrt y$ ($x$ et $y$ entiers relatifs).

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{p{5cm} X}
$a = \left(3\sqrt 2 - 1\right)\left(3\sqrt 2 + 1\right)$&$b = \dfrac47 - \dfrac 8 7 \times \dfrac{15}{12}$\\
$c = \dfrac{64 \times 10^3}{5 \times  10^{-2}}$&$d = 3 \sqrt{50} - \sqrt{18} + 4\sqrt{8}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $(x - 4)^2 - (x - 2)(x - 8)$.
\item En déduire un mode de calcul rapide de l'expression :

$\np{9996}^2 - \np{9998} \times \np{9992}$, puis la calculer.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un commerçant fait 15\,\% de réduction sur tout son stock.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix soldé d'un article précédemment affiché $175$ F ?
\item Le prix soldé d'un article est $272$ F{}. Quel était son ancien prix?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(0.2,0.2)(4.6,1.7)%IJKL
\psline(0.2,0.2)(4.6,2.4)(4.6,1.7)%IOK
\uput[dl](0.2,0.2){I} \uput[dr](4.6,0.2){J} \uput[r](4.6,1.7){K}
\uput[ul](0.2,1.7){L} \uput[ul](3.2,1.7){M} \uput[u](4.6,2.4){O}
\uput[d](2.4,0.2){7,5} \uput[r](4.6,0.95){3} \uput[r](4.6,2.15){1,5}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère la figure ci-dessus qui n'est pas en vraie grandeur. 

IJKL est un rectangle.

O, M et I sont alignés ainsi que O, K et J.

Les mesures en cm sont :

IJ $= 7,5$ \quad KJ $= 3$\quad  OK $= 1,5$. 

Calculer les valeurs exactes de MK et de OI puis l'arrondi de OI au mm.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6.6,4)
\psframe(0.1,0.2)(1,1.1)
\psline(1,0.2)(1.3,0.5)(1.3,1.4)(0.4,1.4)(0.1,1.1)
\psline(1.3,1.4)(1,1.1)
\rput(0.55,0.65){C$_1$}\uput[d](0.1,0.2){A}\uput[d](1,0.2){B}
\psframe(2.8,0.2)(5.4,2.8)
\psline(5.4,0.2)(6.5,1.2)(6.5,3.8)(3.9,3.8)(2.8,2.8)
\psline(6.5,3.8)(5.4,2.8)
\rput(4.1,1.5){C$_2$}
\uput[d](2.8,0.2){C}\uput[d](5.4,0.2){D}
\end{pspicture}
\end{center}

C$_1$ et C$_2$ sont deux cubes.

On suppose que CD $= 3$AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item S'il faut 2 kg de laque pour peindre C$_1$ combien en faut-il pour peindre C$_2$?
(On admet que la masse de laque et l'aire peinte sont proportionnelles.)

\item Si C$_2$ contient 113,4 litres, combien en contient C$_1$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip



\begin{enumerate}
\item Construire un parallélogramme ABCD de centre 0 tel que: AB =6; AC =3 et Be =4,5 (les longueurs sont exprimées en centimètres). Construire les points suivants :

E, symétrique de B par rapport à (AC) ;

F, symétrique de E par rapport à 0 ;

G, image de F par la translation de vecteur BC.
\item Montrer que GDAF est un parallélogramme.
\item Montrer que OB = OE.
\item Montrer que DEBF est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré et l'unité de volume le centimètre cube.}

\medskip

On veut produire des boîtes en forme de prisme droit dont la base est un triangle rectangle (figure 1). Pour cela, on doit découper dans une feuille de carton rectangulaire EFGH de dimensions $12$ et $x$ ($x > 6$), un patron de ce prisme (figure 2). 

Les parties grises représentent les morceaux de carton inutilisés.

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(4.2,4)
%\psgrid
\psframe(0,1)(2.2,1.6)
\psline(2.2,1.6)(0.8,2.4)(0,1.6)%CAB
\psline[linestyle=dashed](0,1)(0.8,1.8)(0.8,2.4)%B'A'A
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.8)(2.2,1)%A'C'
\rput(2.7,3.7){AB = 3}\rput(2.7,3.3){AC = 4}\rput(2.7,2.9){BC = 5}
\psline(.7,2.3)(0.82,2.19)(0.94,2.32)
\rput(1.6,0){Figure 1}
\uput[u](0.8,2.4){A} \uput[l](0,1.6){B} \uput[r](2.2,1.6){C}
\uput[ur](0.8,1.8){A$'$} \uput[l](0,1){B$'$} \uput[r](2.2,1){C$'$}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(4.2,4)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0.7)(4.1,3.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.6,1.6)(1.5,1.6)(1.5,0.7)(2.6,1.6)(4.1,1.6)(4.1,2.4)(2.6,2.4)(1.5,3.3)(1.5,2.4)(0.6,2.4)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.7)(0.2,3.3)\uput[r](0.2,2){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,3.8)(4.1,3.8)\uput[d](2.35,3.8){12}
\rput(1.6,0){Figure 2}
\psline(1,2.5)(1.1,2.3)\psline(1,1.7)(1.1,1.5)
\uput[dl](1.5,2.4){A} \uput[u](1.5,3.3){B} \uput[dr](2.6,2.4){C}
\uput[ul](0.6,3.3){E} \uput[ur](4.1,3.3){F} \uput[dr](4.1,0.7){G} \uput[dl](0.6,0.7){H} 
\uput[dl](1.5,1.6){A$'$} \uput[d](1.5,0.7){B$'$} \uput[dr](2.6,1.6){C$'$}
\psframe[linestyle=dashed](1.5,1.6)(2.6,2.4)
\psframe(1.5,1.6)(1.6,1.7)\psframe(2.6,1.6)(2.5,1.7)
\psframe(1.5,2.4)(1.6,2.3)\psframe(2.6,2.4)(2.5,2.3)
\rput(2.05,2.85){$\bullet$}\rput(3.35,2.4){$\bullet$}\rput(2.05,1.15){$\bullet$}\rput(3.35,1.6){$\bullet$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que EH $= 13$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire du carton utilisé est égale à $96$ cm$^2$.
		\item QueUe est l'aire du carton inutilisé ?
		\item Calculer le volume de la boîte.
	\end{enumerate}
\item Dans toute la suite on aura: EH $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer AA$'$ en faction de $x$.
		\item Montrer que l'aire du carton utilisé est égale à $12x - 60$.
		
En déduire que l'aire du carton inutilisé ne dépend pas de $x$.
		\item On veut que l'aire du carton utilisé soit supérieure ou égale à celle
du carton inutilisé.

Montrer que cela est réalisé lorsque $x \geqslant 10$.
		\item Exprimer en fonction de $x$ le volume de la boîte.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser la feuille de papier millimétré (prendre en abscisse 1 cm pour représenter 1 unité et en ordonnée 1 cm pour 12 unités), pour représenter les droites 
		$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ayant pour équations : $\left(D_1\right)$ : $y = 12x - 60$ ;
$\left(D_2\right)$ : $y = 60$.
		\item Déterminer à l'aide du graphique, les coordonnées $\left(x_{M}~;~y_{M}\right)$ du point d'intersection $M$ de ces deux droites.
		
Que représentent ces nombres pour la question 2. du problème ?
		\item Trouver, à l'aide du graphique, l'entier $x$ pour lequel l'aire du carton utilisé est le double de celle du carton inutilisé (on laissera apparents les traits de construction).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}