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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Dijon}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $A = \sqrt{25}  - \sqrt{75} + 2\sqrt{27} - \sqrt{108} + 2\sqrt{9}$. 

Écrire $A$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$, avec $a$ et $b$ entiers.
\item Calculer:

$B = \left(11 -5\sqrt 3\right)\left(11 + 5\sqrt 3\right)$.

$C = \dfrac43 - \dfrac73 \times \left(1 - \dfrac32\right)$. 

$D = \dfrac{3^2}{2^3} : \dfrac{3}{2^5}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $E = (x + 4)^2 - (x + 4)(2x - 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Factoriser $E$
\item Résoudre l'équation $(5 - x)(x + 4) = 0$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un village de vacances de $360$ personnes, il y a $198$ enfants, les autres personnes sont adultes.

Tous les jours $176$ enfants et $\dfrac13$ des adultes vont à la piscine

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'adultes allant tous les jours à la piscine ?
\item Quel est le pourcentage arrondi à l'unité, de personnes allant tous les jours à la piscine ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit (O, I, J) un repère orthonormal où l'unité est le centimètre.

On donne la droite $\Delta$ d'équation $y= \dfrac12 x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le point A d'abscisse 2 situé sur $\Delta$.

Calculer l'ordonnée du point A, puis tracer $\Delta$. Justifier. 
\item Soit le point B(0~;~5).

Déterminer l'équation de la droite (AB).Tracer la droite (AB).
\item Montrer que $\Delta$ et (AB) sont perpendiculaires.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ (la mesure sera arrondie au degré).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Soit un rectangle ABCD de centre I.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(3.2,1.5)
\psframe(0.2,0)(2.5,1.2)%DCBA
\psline(0.2,0)(2.5,1.2)%DB
\psline(0.2,1.2)(2.5,0)%AC
\uput[ul](0.2,1.2){A} \uput[ur](2.5,1.2){B} \uput[r](2.5,0){C} \uput[l](0.2,0){D} \uput[d](1.35,0.6){I} 
\end{pspicture}
\end{minipage} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point K tel que $\vect{\text{IK}} = \vect{\text{IA}} + \vect{\text{IB}}$.
		\item Montrer que le quadrilatère AKBI est un losange.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point P, symétrique de I par rapport à B et le point R, symétrique de K par rapport à B.
		\item Prouver que les points I, K, P et R sont sur un même cercle ; indiquer le centre et le rayon de ce cercle. Construire ce cercle sur la figure.
		\item En déduire la nature du quadrilatère IKPR.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}	
		
\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
\begin{minipage}{0.68\linewidth}
La figure ci-contre représente un cylindre de rayon 6 cm contenant exactement une boule de rayon 6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur du cylindre? 
\item Calculer la valeur exacte:
	\begin{enumerate}
		\item du volume $V_1$ du cylindre,
		\item du volume $V_2$ de la boule.
		
Écrire chaque résultat sous la forme $k\pi$,\, $k$ étant un nombre entier.
(donner la valeur exacte simplifiée).
	\end{enumerate}	
\item Calculer v.
\end{enumerate}	
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.22\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.4,4)
\psline(0,0.3)(0,3.5)\psline(3.2,0.3)(3.2,3.5)
\psellipticarc(1.6,0.3)(1.6,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](1.6,0.3)(1.6,0.3){0}{180}
\psellipse(1.6,3.5)(1.6,0.3)
\psline[linestyle=dashed](0,3.5)(3.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.3)(3.2,0.3)
\pscircle(1.6,1.9){1.6}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle EFG tel que 
		
\begin{center}EF $= 5,4$ \quad FG $= 7,2$ \,; \quad EG $= 9$.\end{center}
		\item Démontrer que ce triangle est rectangle.
	\end{enumerate}	
\item  Soit (C) le cercle circonscrit au triangle EFG. Préciser son centre et son rayon.

Justifier chaque réponse.
\item  On place un point M appartenant au segment [EF].
On pose FM $= x$.

La parallèle à la droite (EG) passant par M coupe la droite (FG) en P.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer FP en fonction de $x$.
		\item Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$  du triangle MFP en fonction de $x$.
	\end{enumerate}	
\item ~
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.47\linewidth}
La courbe en annexe représente l'aire $\mathcal{A}(x) = \dfrac23 x^2$.

longueur en cm

Cette annexe est à rendre obligatoirement avec la copie.

\hspace{0.6cm}\textbf{a.} Trouver graphiquement l'aire du triangle MFP pour $x = 3$ en effectuant les tracés nécessaires sur le graphique.
		
Retrouver ce résultat par le calcul.

\hspace{0.6cm} \textbf{b.} Déterminer $x$ par le calcul, pour que l'aire du triangle MFP soit $12$ cm$^2$.
		
On donnera la valeur exacte de $x$ puis l'arrondi au millimètre.
		
Vérifier ce résultat sur le graphique en effectuant les tracés nécessaires.


\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(6,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(6,20)
\uput[u](4.5,0){longueur en cm $x$} \uput[r](0,20){aire en cm$^2$}
\uput[l](0,19.44){\small 19,44}\uput[d](4.243,0.15){\scriptsize $3\sqrt{2}$}\uput[d](5.4,0){\scriptsize 5,4}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5.4}{x dup mul 2 mul 3 div}
\psline[linestyle=dotted,ArrowInside=->]{->}(3,0)(3,6)(0,6)
\psline[linestyle=dotted,ArrowInside=->]{->}(4.243,0)(4.243,12)(0,12)
\psline[linestyle=dotted,ArrowInside=->]{->}(5.4,0)(5.4,19.44)(0,19.44)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{document}