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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 1998}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble  septembre 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer:

\[A = \left(\dfrac14 - 4\right)^3, \qquad B = - 3 + \dfrac13  \times - \left(-\dfrac13\right)^2, \qquad  C = 4 - 4 \div \dfrac14.\]

On mettra chaque résultat sous forme de fraction irréductible et de nombre décimal lorsque cela sera possible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une analyse de sang d'un patient donne le résultat suivant :

$\bullet~~$Globules rouges : $4,9 \times 10^6$ par mm$^3$ de sang.

Calculer le nombre de globules rouges de ce patient sachant que son corps contient $50$~L de sang.

On écrira le résultat en notation scientifique.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Unité : 1cm \qquad \qquad \hfill ABCD et ABEF sont des rectangles.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle ABCD en fonction de $x$.
	\begin{enumerate}
		\item sous forme factorisée;
		\item sous forme développée.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la forme développée, chercher la valeur exacte de $x$,
pour que cette aire soit 16 cm$^2$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(5.7,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(4.6,2.7)
\psline(0.2,1.5)(4.6,1.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.2,2.9)(2.7,2.9)\uput[u](1.45,2.9){$x$}
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(2.7,2.9)(4.6,2.9)\uput[u](4,2.9){$2$}
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,0.2)(0,2.7)\uput[l](0,1.45){$x$}
\uput[ul](0.2,2.7){A} \uput[ur](4.6,2.7){B} \uput[r](4.6,1.5){C}
\uput[dr](0.2,1.5){D} \uput[dr](4.6,0.2){E} \uput[dl](0.2,0.2){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans une librairie, deux catégories de livres sont vendues, les uns à $30$ F pièce, les autres à $40$ F pièce.

On appelle $x$ le nombre de livres vendus à 30 F et $y$ le nombre de livres vendus à $40$ F.

À la fin de la journée, le libraire constate qu'il a vendu $23$ livres, pour un montant total de $840$ F.

En écrivant, puis en résolvant un système de deux équations à deux inconnues, calculer le nombre de livres vendus, de chaque catégorie.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 3 cm. 

Soit M un point appartenant au cercle, tel que MB $= 3$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle OMB ? Justifier 
		\item Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{OBM}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier.
		\item Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$.
		\item Calculer AM en valeur exacte.
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{MAB}}$ en valeur exacte en utilisant AMB.
		\item En déduire la valeur exacte de $\cos 30\degres$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous représente une pyramide régulière SABCD à base carrée, de sommet S, de hauteur SH.

L'unité est le centimètre; on donne: SH $= 6$ et AD $= 8$.

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment
l'une de l'autre}.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.4,5)
%\psgrid
\psline(0.2,0.2)(4.4,0.2)(6,1.6)(3.1,4.3)(4.4,0.2)%ADCSD
\psline(3.1,4.3)(0.2,0.2)%SA
\psline(1.7,2.3)(3.72,2.3)(4.55,3)%A'D'C'
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(6,1.6)(1.8,1.6)(4.4,0.2)%ACBD
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.8,1.6)(6,1.6)%ABC
\pspolygon[linestyle=dashed](1.7,2.3)(2.55,3)(4.55,3)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](3.1,4.3)(1.8,1.6)%SB
\psline[linestyle=dashed](3.1,4.3)(3.1,0.9)%SH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](1.8,1.6){B} \uput[ur](6,1.6){C} \uput[dr](4.4,0.2){D}
\uput[l](1.7,2.3){A$'$} \uput[ur](2.55,3){B$'$} \uput[ur](4.55,3){C$'$} \uput[r](3.72,2.3){D$'$}
\uput[dr](3.05,2.75){M} \uput[d](3.1,0.9){H}\uput[u](3.1,4.3){S}
\psline(2.9,0.83)(2.9,1.03)(3.1,1.11)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vraie grandeur le quadrilatère ABCD.
		\item Calculer AD en valeur exacte.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vraie grandeur le triangle ASH.
		\item Déterminer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ASH}}$.
		\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ASH}}$ (on donnera un résultat arrondi au degré).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item On appelle M le point du segment [SH] tel que SM $= \dfrac14$ SH.

On coupe la pyramide SABCD par un plan parallèle à la base et passant par M, comme indiqué sur la figure.

On admet que SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une pyramide régulière à base carrée, de hauteur SM.

Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J). 

L'unité sur chaque axe est le cm.

Graduer l'axe des abscisses de $- 6$ à 10 et
l'axe des ordonnées de $- 6$ à 14.

Placer les points G$(-2~;~- 4)$ ;\, A(8~;~1) ; \, T(6~;~2).

L'équipe de plongeurs sous-marins \og Les joyeux Matheux \fg{} est à la recherche d'une épave engloutie au fond de l'océan. Ils doivent la rechercher dans une zone délimitée par un quadrilatère RECH que l'on va déterminer tout au long tu problème.

Ils se trouvent actuellement sur l'île \og Origine \fg{} autour de laquelle sont situés trois îlots : \og Géométrie\fg{} ; \og Algèbre \fg{} et \og Théorème \fg.

Ces 4 îles sont représentées par les points : O, G, A et T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Recherche des coordonnées du point R}.

Le point R est le point d'intersection des droites (AT) et (OG).

Placer le point R sur la figure.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation de la droite (AT) est $y = - \dfrac12 x + 5$.
		\item Vérifier qu'une équation de la droite (OG) est $y = 2x$.
		\item Démontrer que les deux droites (OG) et (AT) sont perpendiculaires.
		\item Démontrer que le point R a pour coordonnées (2~;~4).
	\end{enumerate}
\item \textbf{Recherche des coordonnées du point H}

On appelle H le symétrique du point T par rapport à R.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point H sur la figure.
		
Donner les coordonnées du point H en les lisant sur le graphique.
		\item Vérifier par le calcul que R est milieu du segment [HT].
	\end{enumerate}
\item \textbf{Recherche des coordonnées du point E}

Le point E est le point de la droite (OG), d'ordonnée $10$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point E sur la figure.
		\item Calculer l'abscisse du point E.
		\item Montrer que RE $= 3\sqrt{5}$. On admet que RH $= 2\sqrt{5}$.
	\end{enumerate}	
\item \textbf{Recherche du point C et étude du quadrilatère RECH}

Le point C est l'image du point E par la translation de vecteur $\vect{\text{RH}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point C sur la figure.
		\item Démontrer que le quadrilatère RECH est un rectangle. 
		\item Calculer l'aire de ce rectangle.
		\item Sachant que le graphique est à l'échelle $\dfrac{1}{\np{10000}}$, calculer l'aire 
réelle du rectangle RECH qui délimite la zone à explorer. (On donnera la réponse en km$^2$).
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{document}