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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe I juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère la fonction polynôme p définie par 
\[p(x) = (x + 1)^2 - 9.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p$ est le produit de deux fonctions
polynômes du premier degré. 
		\item Calculer $p(- 4)$ et $p(- 1)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $q$ définie par 
\[q(x) = (x + 4)(3x - 1) + x^2 - 16.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $q$ est le produit de deux fonctions polynômes du premier degré.
		\item Donner la liste des entiers relatifs $n$ tels que $(n + 4)$ et $(4n - 5)$
soient de signes contraires.

Pour chacune de ces valeurs de $n$, quel est le signe de $q(n)$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle $f$ définie par
\[f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition, $\mathcal{D}$ ?
		\item $x$ étant un réel appartenant à $\mathcal{D}$, montrer que
\[f(x) = \dfrac{x - 2}{4x - 5}.\]
		\item Résoudre, dans l'ensemble des réels, l'équation

\[\dfrac{x - 2}{4x - 5}= \dfrac 27.\]

La solution trouvée vérifie-t-elle $f(x) = \dfrac 27$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan, muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A et B définis par leurs coordonnées:

\begin{center}A(2~;~1)\qquad  et \qquad B$(-2~;~2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire les points A$'$ et B$'$ tels que
\begin{center}$\vect{\text{OA}'} = - \dfrac32 \vect{\text{OA}}$ \quad et $\vect{\text{OB}'} = - \dfrac32 \vect{\text{OB}}$\end{center}
et calculer leurs coordonnées.

Montrer que l'on a $\vect{\text{A}'\text{B}'} = - 2\vect{\text{AB}}$.

En déduire une information sur les directions des
vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}'\text{B}'}$.
\item Soit I le milieu du segment [AB] et J le milieu du
segment [A$'$B$'$].

Montrer que les points O, I et J sont alignés.
\item Les droites (AB$'$) et (A$'$B) sont les représentations graphiques de deux fonctions affines.

Trouver ces fonctions, puis les coordonnées du point, C, commun aux deux droites.
\item Soit H le point projection orthogonale de A sur l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$) et $t$ l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{HOA}}$.

Calculer, au choix, $\cos t$ ou $\tan t$ ; à l'aide d'une table de valeurs numériques, donner une valeur approchée entière en degrés du nombre $t$.
\end{enumerate}
\end{document}