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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Groupe I}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupe I juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'application polynôme $f$ définie dans $\R$ par
\[f(x) = (2x - 1)^2 - 8(x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Montrer que ce polynôme est le carré d'un binôme du premier degré.
\item Déterminer les images par $f$ des réels 0,\:$\dfrac32$  et 1.
\item Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation
\[f(x) = 4.\]

L'application $F$ est-elle une bijection ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'application polynôme $g$ définie
dans $\R$ par
\[g(x) = \left(4x^2 - 9\right) + (2x - 3).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser g(x).
\item Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation
\[f(x) - g(x) = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $h$ la fonction rationnelle définie dans $\R$ par
\[h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},\]

$f$ et fgf étant les applications définies précédemment.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble de définition, $\mathcal{D}_h$, de la
fonction $h$.

Le réel $x$ étant élément de  $\mathcal{D}_h$, simplifier $h(x)$. On trouvera $h(x) = \dfrac{2x -3}{2x + 4}$.
\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ ; donner le résultat par un quotient de dénominateur entier.
\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement de $h\left(\sqrt 3\right)$, puis une valeur approchée à un centième près par défaut de ce nombre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Le centimètre est pris pour unité de longueur.

Dans le plan euclidien muni du repère orthonormé \Oij, on considère le point A de coordonnée $(-4~;~2)$ et le vecteur $\vect{u}$ défini par
\[\vect{u} = 7\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On construit le point D, tel que $\vect{\text{AD}} = 2\vect{u}$. 

Montrer que D a pour coordonnées (+ 10~;~ + 10).
\item On place le point B de coordonnées $(-6~;~- 14)$.

Calculer les coordonnées du point I, milieu de (B, D).

On appelle C le symétrique de A par rapport au point I.

Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un parallélogramme, et que les vecteurs $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont égaux.

En déduire les coordonnées du point C.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.

Quel rôle la droite (BD) joue-t-elle pour le bipoint (A, C) ?

Dire pourquoi le quadruplet (A, B, C, D) est un losange.
\item Démontrer l'égalité BD $= 2$AC.
\item On désigne par $t$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{IDA}}$.

Calculer $\tan t$ ; en déduire la valeur approchée en degrés de $t$, à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}