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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe I septembre 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies par
\begin{center}$f(x) = 3x$\qquad  et \qquad $g(x) = - 2x + 3$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Peut-on déterminer un réel $a$ tel que $f(a) = 2$ ?

Peut-on déterminer un réel $b$ tel que $g(b) = - \dfrac15$ ?
\item Un réel quelconque $y$ étant choisi, existe-t-il un réel $x$ tel que
$g(x) = y$ ?

La fonction polynôme $g$ définit-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
($\R$ désigne l'ensemble des réels)

Justifier la réponse. 
\item Résoudre dans $\R$ les trois équations
	\begin{enumerate}
		\item $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$ ;
		\item $|f(x)| = g(x)$ ;
		\item $|f(x)|= - g(x)$.
	\end{enumerate}
On rappelle qu'on note $|a|$ la valeur absolue du réel $a$.
\item Trouver la valeur du réel $x$ telle que le quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$
soit égal à $\sqrt 2$.

On donnera pour ce nombre la valeur exacte, puis une valeur approchée à un dixième près, sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - Les quatre parties sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne dans le plan un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C définis par leurs coordonnées A$(-4~;~3)$, \: B$(0~;~- 5)$,\: C$(8~;~- 1)$.
\item Soit P le milieu du bipoint (A, C).

Calculer ses coordonne et celles du point D, symétrique de B par rapport à P.
\item Calculer les distances AB, BC et AC.

En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
\item Placer le point I$(3~;~-1)$. 

Calculer BI et montrer que BI = BO.

Calculer PI et PO et montrer que PO = PI.

Montrer que (PB) est médiatrice des deux segments [OI] et [AC].

En déduire que les triangles OAB et ICB sont isométriques.
\item On appelle A$'$ la projection orthogonale de A sur la droite (OB), 
et $u$ l'écart angulaire, en degrés, de $\widehat{\text{ABA}'}$.

Dans le triangle BAA$'$, calculer, au choix, $\cos u$ ou $\tan u$.

Donner les valeurs approchées entières de l'écart $u$.
\end{enumerate}
\end{document}