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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1999}
\rfoot{\small Groupe Est}
\lfoot{\small L'année 1999}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~ Groupe Est \footnote{Besançon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg, Lyon, Dijon} juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction simplifiée :

\[A = \dfrac54 + \dfrac{11}{4} \times \dfrac{20}{33} \qquad B = \dfrac52 : \left(\dfrac74 + \dfrac92\right).\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer et donner le résultat en notation scientifique :

\[ C = 15\times \left(10^7\right)^2 \times 3 \times 10^{-5}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer $D$ et $E$ et donner les résultats sous forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$
sont des nombres entiers avec $b$ le plus petit possible :

\[D = 2\sqrt{12} - 5\sqrt{27} +7\sqrt{75} \qquad E = \left(\sqrt{2}+ \sqrt{3}\right)^2 - 5.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression :

\[F = (5x - 3) (3x + 2) - (5x - 3)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$
\item Résoudre l'équation $(- 2x + 5) (5x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Pierre et Nathalie possèdent ensemble 144 timbres de collection.

Si Nathalie donnait 2 timbres à Pierre, alors celui-ci en aurait deux fois plus qu'elle.

Combien chaque enfant a-t-il de timbres actuellement ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}Un pigeonnier est composé d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH et d'une pyramide SEFGH dont la hauteur [SO] mesure $3,1$ m.

On sait que AB $= 3$ m, BC $= 3,5$ m et AE $= 4$ m.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BD et en déduire celle de BH. 

On donnera des valeurs approchées de ces résultats à $10^{-1}$ près.
\item Calculer en m$^3$ le volume $V_1$ de ce pigeonnier.
\item Un modéliste désire construire une maquette de ce pigeonnier à
l'échelle $\frac{1}{24}$.

Calculer en dm$^3$ le volume $V_2$ de la maquette.

On donnera une valeur approchée de ce résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(5.5,10)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(4,0)(5.3,1.4)(1.3,1.4)%ABCD
\uput[d](0,0){A} \uput[d](4,0){B} \uput[r](5.3,1.4){C} \uput[l](1.3,1.4){D} 
\pspolygon(0,5.4)(4,5.4)(5.3,6.8)(1.3,6.8)%EFGH
\uput[dl](0,5.4){E} \uput[dr](4,5.4){F} \uput[ur](5.3,6.8){G} \uput[ul](1.3,6.8){H} 
\psline(0,0)(0,5.4)\psline(4,0)(4,5.4) \psline(5.3,1.4)(5.3,6.8) \psline(1.3,1.4)(1.3,6.8)
\psline(0,5.4)(5.3,6.8)\psline(4,5.4)(1.3,6.8)% EG et FH
\psline(2.66,6.1)(2.66,9) \uput[u](2.66,9){S}
\psline(2.66,9)(4,5.4)(2.66,9)(5.3,6.8)(2.66,9)(1.3,6.8)(2.66,9)(0,5.4)%SFSGSHSE
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,I,J), unité 1 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-4~;~-1)$, B(4~;~4) et C$(2~;~-1)$.

On complètera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AC]. Déterminer l'équation de la droite (KB).

Justifier que la droite (KB) passe par l'origine O du repère.
\item On considère le point H$(4~;~-1)$. On admet que [BH] est la hauteur issue de B du triangle ABC.

Calculer les distances AC et BH, puis en déduire l'aire du triangle ABC.
\item Calculer la distance AB. 

En déduire la longueur $d$ de la hauteur issue de C dans le triangle ABC.

On donnera une valeur approchée de $d$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip


Dans ce problème, vous pourrez utiliser les données du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mesure de  l’angle en \degres	&Cosinus 				&Sinus 				&Tangente\\ \hline
$30$						& $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	&$\dfrac{1}{2}$		&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
$60$						&$\dfrac{1}{2}$			&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle LMN rectangle en M tel que LM $= 6$ cm 
et $\widehat{\text{MLN}} = 30\degres$.

Reproduire la figure en vraie dimension et la compléter au fur et à mesure des questions.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,2.5)
\pspolygon(0,0)(4,0)(0,2.5)%MLN
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\psarc(4,0){0.35}{148}{180}
\uput[dl](0,0){M} \uput[dr](4,0){L} \uput[ul](0,2.5){N} \uput[d](1.5,0){6 cm} \uput[l](3.6,0.25){$30\degres$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur exacte de LN est $4\sqrt{3}$ cm.
\item Tracer le cercle (C) de diamètre [ML]; il recoupe le segment [LN]
en P.

Quelle est la nature du triangle LMP ? Justifier.
\item Montrer que la valeur exacte de MP est $3$ cm.
\item Montrer que la valeur exacte de LP est $3\sqrt{3}$ cm.
\item Tracer la droite perpendiculaire à (LN) passant par N ; elle coupe
(LM) en R.

Que peut-on en déduire pour les droites (RN) et ( MP) ? Justifier.
\item Montrer que la valeur exacte de RN est $4$~cm.
\item Calculer les aires des triangles MPL et RNL (on donnera les résultats sous leur forme exacte).

Quelle est la nature du quadrilatère MPNR ?

Calculer son aire.
\item Placer le point S symétrique de L par rapport à P et placer le point
T image de S par la translation de vecteur $\vect{\text{ML}}$.

Montrer que P est le milieu du segment [MT].
\end{enumerate}
\end{document}