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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Guyane juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires O$x$ et O$y$; le centimètre est pris pour unité.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\left(D_1\right)$ qui représente la fonction 

\[y =-\dfrac43 x + 8.\]

 Repérer le point A où elle coupe O$x$ et le point B où elle coupe O$y$.
\item Ajouter au graphique précédent la droite $\left(D_2\right)$
d'équation 
\[y = x.\]
\item Lire sur le graphique les coordonnées du point C
commun aux deux.droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item Calculer ensuite les coordonnées exactes du point C.
\item Calculer la distance OC.
\item Signaler une particularité de la droite (OC).

Calculer les longueurs CA et CB.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, de centre O, et la tangente en B à ce cercle.

Une sécante menée par A coupe le cercle en C et cette tangente en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.

Démontrer la relation 
\begin{center}AC $\times$ AD $= 4R^2$.\end{center}
\item On suppose que BD = $\dfrac{3R}{2}$ ; calculer AD, AC et CD.
\item La droite (OC) coupe la perpendiculaire en D à (BD) en un point O$'$.

Démontrer que les triangles COA et CO$'$D sont semblables.

Évaluer la longueur des côtés [O$'$C] et [O$'$O] dans  le cas déjà étudié où BD = $\dfrac{3R}{2}$.
\item Quelle particularité présente le cercle de centre O$'$ et de rayon O$'$D ?
\end{enumerate}
\end{document}