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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Guyane juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A, dont les côtés de l'angle droit ont pour mesures

AB $= 9$~cm, AC $= 12$~cm.

Sur le côté [AB] on prend un point B$'$ tel que AB$' = 6$~cm.

Par B$'$ on mène la parallèle à (BC), qui coupe (AC) en C$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC et AC$'$.
\item Sur le côté [AB$'$] on prend un point H ;  on pose AH $= x$.

La perpendiculaire en H à (AH) coupe (B$'$C$'$) en M.

Soit [MK] la hauteur issue de M dans le triangle MAC.

Calculer en fonction de $x$ les aires $y_1, \: y_2$ des triangles MAC et MAB.

Calculer l'aire $y_3$ du triangle MBC.
\item Peut-on trouver $x$ de manière que les trois aires $y_1,\:y_2$ et $y_3$ soient égales ?
\item Représenter sur un même graphique les fonctions
\[y_1 = 6x,\qquad  y_2 = 6(6 - x),\qquad  y_3 =18.\]

pour $x$ variant de 0 à 6~cm.

(unités: 1 cm sur O$x$, $\dfrac13$~cm sur O$y$)

Les lignes obtenues ont-elles un point commun ?

Retrouver graphiquement le résultat du 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en B et dont l'angle $\widehat{\text{A}}$ mesure $60\degres$.

Soit M un point variable du segment [AB].

On prend sur [AC] le point N tel que AN = AM.

La perpendiculaire à (MN) menée par le point N coupe (BC) en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Connaissant AB $= a$, calculer AC et BC.
\item Montrer que le quadrilatère MNPB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre O.

Montrer que O se trouve sur la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ (on pourra prouver d'abord que (AO) est médiatrice de [MN]).
\item Montrer que le triangle NPC est isocèle et calculer, en fonction de $a$, le périmètre du quadrilatère MNPB.
\item Montrer que [NB] est le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre O.

En conclure que le rapport $\dfrac{\text{MP}}{\text{NB}}$ des diagonaleS du quadrilatère MNPB a
une valeur cons ante, que l'on calculera à $0,01$ près.
\end{enumerate}
\end{document}