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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Guyane }}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Guyane octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression
\[A = 2(x - 3)^2 - \left(x^2 - 2x - 3\right)- (3 - x)(x + 8).\]

Effectuer les opérations et donner à $A$ la forme d'un polynôme réduit et ordonné.

Trouver la valeur numérique de $A$ pour $x = 0$
et pour $x = - \dfrac12$.
\item Décomposer en produits de facteurs les expressions
\begin{center}$B = 2x^2 - 12x + 18$\qquad  et \qquad $C = x^2 - 2x - 3$.\end{center}

Relativement à l'expression $C$, on s'aidera du fait qu'elle peut aussi bien être écrite 
\[C = (x - 1)^2 - 4.\]

Simplifier alors la fraction
\[\dfrac BC = \dfrac{2x^2 - 12x + 18}{x^2 - 2x - 3}.\]
\item Résoudre l'équation
\[\dfrac{2(x - 3)}{x + 1} = - 6.\]
\item Résoudre l'équation

\[\dfrac{2(x - 3)}{x + 1} = \sqrt 2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On considère un triangle ABC, rectangle en B, dans lequel AB $= 15$ cm et AC $= 25$ cm. $\left.(\text{On fera la figure à l'échelle }\:\dfrac12\right)$.

Soit D, le point du segment [BC], entre B et C, tel que $\dfrac{\text{DB}}{\text{DC}} = \dfrac35$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC, DB et DC. (On trouvera DB $= 7,5$.)
\item Par le point C on mène la parallèle à (DA), qui coupe (AB) en E.

Calculer AE et déterminer la nature du triangle AEC.

En déduire que [AD) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\item Le cercle de diamètre [AD] recoupe (AC) en M.

Calculer MA, MC et MD.
\item Calculer AD à $0,01$ près.
\end{enumerate}
\end{document}