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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Haute-Volta}
\lfoot{\small juin 1965}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Haute-Volta juin 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement, puis graphiquement le système
\[\left\{\begin{array}{l c ll}
2y- 6x+8 &=& 0,&(1)\\ 
3y + x - 5&=&0.&(2)
\end{array}\right.\]

\item Soit $\left(D_1\right)$ la droite d'équation (1) et $\left(D_2\right)$ d'équation (2).

Que peut-on dire de ces deux droites ?

La droite $\left(D_2\right)$ coupe $y'y$ en B.

Former l'équation de la parallèle menée par le point B à la droite $\left(D_1\right)$.
\item La droite $\left(D_1\right)$ coupe $\left(D_2\right)$ en A et $y'y$ en C.

Trouver l'équation de la médiane [AM] du triangle ABC.

Calculer AM et vérifier que AM $= \dfrac{\text{BC}}{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un triangle ABC dans lequel AB $= 2$ AC.

On appelle D le point situé sur le prolongement de [AC] au-delà de C, tel que AD $= 2$ AB.

On désigne par I le milieu de [AD] et l'on a ainsi IA = ID = AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la relation AB$^2 = \overline{\text{AC}} \cdot \overline{\text{AD}}$.
\item Montrer que les deux triangles ABC et ADB sont semblables.

En déduire que les angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{BDA}}$ sont égaux.
\item Montrer que (AB) est la tangente en B au cercle circonscrit au triangle BCD.
\item On mène les hauteurs [BH] et [DK] dans les triangles ABC et ADB.

Quelle est la valeur du rapport
\[\dfrac{\text{AC} \cdot \text{BH}}{\text{AB}  \cdot \text{DK}} \:?\]
\end{enumerate}
\end{document}