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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Inde}
\lfoot{\small juin 1996}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Inde\footnote{sauf Pondichéry} juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sachant que $a = 10$ et $b = \dfrac43$, 
calculer les valeurs exactes, qui seront écrites sous la forme la plus simple possible, des expressions :

\[a + b \:\:; \qquad \dfrac37 a \:\:; \qquad \dfrac a b.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = \left(3\sqrt 2 + \sqrt 5\right)\left(3\sqrt 2 - \sqrt 5\right)$.

Calculer $E$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer: $(5x + 4)^2$.
\item Factoriser: $(3x - 2)(6x + 7) - (3x - 2)(7x + 1)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{3}{|c|}{Production de poissons et crustacés en Bretagne et en France}\\ \hline
Année 1992	&Quantité produite par la Bretagne (en tonnes)&Quantité produite par la France (en~tonnes)\\ \hline
Poissons &\np{109961} 	&\np{283445}\\ \hline
Crustacés&\np{16850}	& \np{22704}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-après:

\begin{itemize}
\item écrire le calcul permettant d'obtenir le pourcentage;
\item donner le pourcentage arrondi au dixième près.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c |*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{PRODUCTION DE POISSONS ET CRUSTACÉS EN BRETAGNE ET EN FRANCE}\\ \hline
Année 1992&\footnotesize Quantité produite par la Bretagne (en tonnes)&\footnotesize Quantité produite par la France (en tonnes)&\footnotesize Part de la Bretagne en pourcentage\\ \hline
Poissons	&\np{109961}		&\np{283445}&\multicolumn{1}{|l|}{Calcul:}\\
			&					&			&\multicolumn{1}{|l|}{Résultat :}\\ \hline
Crustacés	&\np{16850}			&\np{22704}	&\multicolumn{1}{|l|}{Calcul :}\\
			&					&			&\multicolumn{1}{|l|}{Résultat:}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le rectangle qui représente la production française de poissons, dessiner le rectangle qui représente la part de la Bretagne.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.7,1.5)
\psframe(0,0.3)(10.7,1.5)
\psline[linestyle=dashed](5.35,0.3)(5.35,1.5)
\rput(0,0){0\,\%}\rput(5.35,0){50\,\%}\rput(10,0){100\,\%}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Diagramme circulaire à compléter: 

 Représenter la \textbf{production bretonne} de crustacés en indiquant le calcul de l'angle représentant cette production dans la case située à gauche du diagramme :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.4)
\psframe(0,0.5)(4,2.5)
\pscircle(7.2,1.6){1.6}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](7.2,1.6)
\rput(2,3.4){Calcul de l'angle :} \rput(7.2,3.4){Représenter la part de la Bretagne} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Utiliser le quadrillage.

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-5,-12)(9,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0)(4,-6)
\pspolygon(0,-3)(0,-8)(3,-8)\rput(0.5,-5.5){T}
\psline(-5,-2)(5,-12)
\uput[ul](0,0){O}\uput[dr](4,-6){I}\uput[ur](5,-12){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle T$_1$ symétrique du triangle T par rapport à la droite $\Delta$.
\item Construire le triangle T$_2$ symétrique du triangle T par rapport au point I.
\item Construire le triangle T$_3$, image du triangle T par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Sur la copie, reproduire ce triangle ABC.

D'après les indications du dessin, préciser la nature de ce triangle.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.6,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.5)(4.3,0.5)(2.3,2.5)
\rput{-45}(2.3,2.5){\psframe(0.2,-0.2)}
\psline(1.1,1.5)(1.3,1.3)\psline(3.3,1.3)(3.5,1.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.1)(4.3,0.1) \uput[u](2.3,0.05){\small6 cm}
\uput[u](2.3,2.5){A}\uput[l](0.3,0.5){B}\uput[r](4.3,0.5){C}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer la valeur exacte de AB. 

Écrire cette valeur sous la forme $a\sqrt b$, avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible.
\item Construire le point D, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$, et le point E, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$.

 Quelle est la position du point A sur le segment [DE] ? Justifier.
\item Construire un triangle BKC, rectangle en K, tel que $\widehat{\text{KBC}} = 25\degres$.
\item Calculer les valeurs approchées, arrondies au mm, des longueurs BK et KC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}Ceci est le dessin en perspective d'un prisme droit ABCIJK, dont une des base est le triangle ABC rectangle en A.

On sait que 

\begin{center}BJ $= 10$ cm, AC $= 4,5$ cm et AB $= 6$ cm.\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.41\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,4.2)
\pspolygon(0.2,0.1)(0.2,3.1)(2.2,0.1)%ABC
\psline(2.2,0.1)(5.2,1)(3.2,4)(0.2,3.1)%CKJB
\psline(0.2,1.9)(1,1.9)(4,2.8)%MNN'
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.1)(3.2,1)(5.2,1)%AIK
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.9)(3.2,2.8)(4,2.8)%MM'N'
\psline[linestyle=dashed](3.2,1)(3.2,4)%IJ
\psframe(3.2,1)(3.4,1.2)\psframe(0.2,0.1)(0.4,0.3)
\uput[l](0.2,0.1){A} \uput[l](0.2,3.1){B} \uput[ur](2.1,0.1){C} \uput[ul](3.2,1){I}
\uput[u](3.2,4){J} \uput[r](5.2,1){K} \uput[l](0.2,1.9){M} \uput[dl](1,1.9){N}
\uput[ul](3.2,2.8){M$'$} \uput[ur](4,2.8){N$'$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle ABC puis le volume du prisme droit.

M est un point du segment[BA]. Par M, on fait passer un plan parallèle au plan
ACKI.

Il coupe les arêtes [BC], [KJ] et [JI] respectivement en N, N$'$ et M$'$.

On admet que les droites (MN) et (AC) sont parallèles et que le quadrilatère MNN$'$M$'$ est un rectangle.
\item On suppose dans cette question que M est placé sur [AB], de telle sorte que AM $= 2$~cm.

Calculer MN puis l'aire du quadrilatère MNN$'$M$'$.
\item Dans toute la suite du problème, on suppose que M est un point quelconque de [AB].

On pose AM $= x$ (exprimé en cm).

Calculer MN en fonction de $x$, puis en déduire que l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, du quadrilatère MNN$'$M$'$ s'écrit $\mathcal{A}= 45 - 7,5x$.
\item Tracer sur papier millimétré la représentation graphique de l'aire $\mathcal{A}$ du quadrilatère MNN$'$M$'$ lorsque $x$ varie de 0 à 6.
\begin{itemize}
\item en abscisses, 1 cm représente 1 cm
\item en ordonnées, 1 cm représente 5 cm$^2$,
\end{itemize}

\item Mettre en évidence sur le graphique l'aire trouvée quand AM $= 2$ cm (question 2).
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ telle que $\mathcal{A} = 15$ cm$^2$.

Vérifier par le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}