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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Indochine (Saïgon) juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Transformer en un produit de facteurs l'expression
\[\left(12x^2 - 3\right)(x + 3) + \left(x^2 - 9\right)(2x - 1).\]
\item Simplifier l'expression

\[\dfrac{\left(12x^2 - 3\right)(x + 3) + \left(x^2 - 9\right)(2x - 1)}{4x^2 - x}\]
et montrer que, sauf pour certaines valeurs de $x$, que
l'on indiquera, l'expression précédente se réduit à 
\[y = \dfrac{7x + 21}{2x + 1}.\]

\item Déterminer $x$ pour que $y$ prenne la valeur $\dfrac72$.

Même question pour $y = \dfrac{7 + \sqrt 3}{2}$ (calculer la valeur à $0,01$~près).
\item Pour quelles valeurs de $x$ les deux termes de la fraction algébrique $y$ sont-ils simultanément positifs ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne, dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$, une corde [AB] égale au côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle.

Sur le plus grand des deux arcs $\widearc{\text{AB}}$, on prend un point M, que l'on joint aux points A et B.

Puis on porte sur [MA] une longueur MC = MB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle MBC est équilatéral.
\item Par M on mène la parallèle à (BC), qui coupe le cercle $\mathcal{C}$ en un second point, P{}.

Évaluer l'angle $\widehat{\text{AMP}}$.

En déduire que P reste fixe lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{AB}}$.
\item Montrer que le triangle PAB est équilatéral.
\item Calculer en fonction de $R$ l'aire du quadrilatère BAPM lorsque le point M se trouve au milieu de l'arc $\widearc{\text{BP}}$.

\end{enumerate}
\end{document}