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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Indochine}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Indochine (sauf Saïgon) juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux villes A et B sont séparées par une distance de 140 km.

Un automobiliste part à 8~h de A, à la vitesse de 45~km/h.

Mais, à un certain moment, il accélère et, en faisant en moyenne 60 km/h, il arrive à B à 10~h 40~min.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle distance de A et à quelle heure a-t-il changé de vitesse ?
\item Écrire les équations du mouvement correspondant aux deux parties du trajet et construire le graphique de ce mouvement.
\item À quelle heure et à quelle distance de A cet automobiliste croise-t-il un motocycliste roulant à 40 km/h et parti de B à 8~h~30 min?
Vérifier sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R$.

Sur le petit arc $\widearc{\text{AB}}$ on prend un point quelconque D. (DC) coupe (AB) en M.

Par A on mène la parallèle à (DB) qui coupe (DC) en E et le cercle $\mathcal{C}$ en F{}.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ADE et EFC sont équilatéraux.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}DA $\times$ DB = DC $\times$ DM.\end{center}
\item Calculer l'aire du quadrilatère ADBC quand D est au milieu de l'arc $\widearc{\text{AB}}$.
\item Quel est le lieu géométrique du point E quand D décrit l'arc $\widearc{\text{AB}}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}