\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Indochine septembre 1954},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Indochine}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Indochine\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[y = \left(4x^2 - 1\right)^2 - (2x + 1)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La développer et l'ordonner par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item La transformer en un produit de facteurs.
\item Calculer les valeurs de $x$ pour lesquelles on a
$y = 0$.
\item Calculer la valeur numérique de $y$ dans le cas où l'on a
\[x = \sqrt 2 - 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un segment [BC] tel que BC $= 4a$,\: $a$ étant une longueur on prend le point A tel que BA $= 3a$.

Soient B$x$ et C$y$ les perpendiculaires à (BC) d'un même côté de (BC).

On considère un angle droit de sommet A, tournant autour de A et dont les côtés rencontrent B$x$ et C$y$ respectivement en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABM et ACN sont semblables.
\item En déduire la relation 
\begin{center}BM $\times$ CN $= 3a^2$.\end{center}
\item Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (MN) ; montrer que les quadrilatères APMB et APNC sont inscriptibles.
\item En déduire que l'angle $\widehat{\text{BPC}}$ est droit et trouver le lieu de P quand l'angle droit $\widehat{\text{MAN}}$ tourne autour de A.

Limiter ce lieu.
\end{enumerate}
\end{document}