\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Irak juin 1989},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Irak}
\lfoot{\small juin 1989}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Irak\footnote{Italie, Koweit, Suisse, Turquie} juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres suivants :

\[5 - \dfrac25 \times \dfrac{15}{4}\:; \qquad \dfrac{54 \times  10^{-1}- 83 \times 10^{-2}}{10^{-2}}\]

On demande les valeurs exactes et non pas des valeurs approchées.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire le nombre $5\sqrt{28} - 7\sqrt 7 - 3\sqrt{63}$ sous la forme $a\sqrt b$,
où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers relatifs.
\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $x= 1 - \dfrac{\sqrt 2}{2}$.

Montrer que $2x^2 = 3 - 2\sqrt 2$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression

\[3\left(9x^2- 1\right) - (3x - 1)(7x + 3).\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser cette expression.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $2x(3x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième  partie}

\medskip

\textbf{Exercice a}

\medskip

Les longueurs sont exprimées en cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que

\begin{center}AB $= 3$,\qquad  BC $= 5$ \quad et \quad  AC $= 4,5$.\end{center}

\item Construire les points D et E tels que

\[\vect{\text{CD}} = \vect{\text{CA}} + \vect{\text{BA}}\qquad  \text{et}\qquad  \vect{\text{BE}}= \vect{\text{BC}} - 2\vect{\text{BA}}.\]

\item Calculer $\vect{\text{CD}} + \vect{\text{BE}}$.

En déduire la nature du quadrilatère BOCE.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{}
(unité : 1 cm), placer les points

\begin{center}A$(- 2~;~2)$\:;\qquad  B(3~;~2)\quad  et\quad  C(1~;~6).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB et AC. 

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Construire la droite $\Delta$ d'équation $2x + y = 0$. 

Montrer que les droites $\Delta$ et (BC) sont parallèles.
\item Placer le point D, symétrique de C par rapport à A. 

Montrer que les droites (BC) et (BD) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

L'un des murs d'une chambre mansardée a la forme d'un triangle ABC rectangle en B.

Ce mur est percé par une porte ayant la forme d'un rectangle (zone hachurée).

On envisage de placer contre ce mur un meuble représenté par le rectangle EFGH (voir figure).

On donne

\begin{center}AB $= 270$\:;\qquad  AC $= 540$\:;\qquad  BD $= 80$.

\medskip
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.5,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(1.2,5.4)(1.2,1.2)(8.7,1.2)%ABC
\psframe[linewidth=1.25pt](2.7,1.2)(6.3,2.6)%HGFE
\psframe[fillstyle=hlines](1.2,1.2)(2.5,4.5)%BD??
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.7,6.3)(9,1.9) \rput{-28}(5.45,3.8){540}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,1.2)(0.3,5.4)\uput[l](0.3,3.3){270}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,1.2)(1,2.6)\uput[l](1.,1.9){90}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,0.5)(2.5,0.5)\uput[d](1.85,0.5){80}
\psline[linewidth=0.5pt]{-<}(2.5,0.5)(2.7,0.5)\uput[d](2.6,0.5){10}
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.6)(2.5,2.6)
\uput[ul](1.2,5.4){A} \uput[dl](1.2,1.2){B} \uput[dr](8.7,1.2){C} \uput[dl](2.5,1.2){D}
\uput[u](2.7,2.6){E} \uput[u](6.3,2.6){F} \uput[d](6.3,1.2){G} \uput[dr](2.7,1.2){H}
\uput[ul](1.2,2.6){I}
\end{pspicture}
\end{center}

Le meuble sera placé à $10$ cm de la porte (DH $= 10$). L'une de ses dimensions est connue : 

EH $= 90$.

On se propose de calculer l'autre dimension : HG.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que BC $= 270\sqrt 3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le quotient $\dfrac{\text{AB}}{\text{IB}}$.
		\item En déduire FC.
	\end{enumerate}
\item Calculer GC.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que HG $= 180\sqrt 3 - 90$.
		\item Donner une valeur approchée à 1~cm près par défaut de HG.

On pourra utiliser $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}